Les intégrales sont une partie du programme non négligeable à devoir maîtriser pour aborder sereinement tes concours en avril. Entre intégrales bornées, intégrales impropres connues et intégrales impropres HP, le choix est large pour les concepteurs de sujets de mathématiques. Si tu n’arrives jamais à savoir quelles intégrales tu dois absolument connaître (ou pas), cet article est fait pour toi !
Les intégrales de Riemann : convergentes ou divergentes ?
Ce sont, globalement, les intégrales les plus connues et utilisées en prépa ECG. Il existe plusieurs cas, en fonction des bornes des intégrales, et il est essentiel que tu les connaisses. Alors, voici un rapide récap’ des différentes intégrales de Riemann et de leurs valeurs.
Un cas particulier
C’est l’intégrale la plus classique des intégrales de Riemann que tu as déjà dû rencontrer dans bon nombre de sujets : \[
\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx
\]
Or, cette intégrale converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
De plus, pour tout \(\alpha > 1\), on a alors :
\[
\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx = \frac{1}{\alpha – 1}
\]
Le cas général
Soient \( \alpha \in \mathbb{R},\quad b \in \mathbb{R}_+^* \).
\( \displaystyle \int_{b}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt \) converge si et seulement si \( \alpha > 1 \).
Dans ce cas, on a alors :
\[
\int_{b}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt \;=\; \frac{b^{\,1-\alpha}}{\alpha – 1}
\]
Intégrales impropres de type exponentiel
Énoncé
On parle ici des intégrales du type : \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-\alpha x t} \, dt = \frac{1}{\alpha x}, \;\alpha x > 0 \). Celle-ci converge si et seulement si \( \alpha > 0 \).
Dans ce cas, on a :
\[
\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} \, dt = \frac{1}{\alpha}, \quad \alpha > 0
\]
Attention : pour l’EML, cette intégrale n’est pas au programme, donc il peut t’arriver de devoir redémontrer ce résultat.
Démonstration
Soit \( \alpha > 0 \).
\(x \mapsto e^{-\alpha x}\) est continue sur \([0,+\infty[\). Donc, l’intégrale est impropre en +∞.
Soit \( A > 0 \). On a :
\begin{align*}
\int_0^A e^{-\alpha t} \, dt
&= -\tfrac{1}{\alpha} \int_0^A -\alpha e^{-\alpha t} \, dt \\[6pt]
&= -\tfrac{1}{\alpha} \Big[ e^{-\alpha t} \Big]_0^A \\[6pt]
&= -\tfrac{1}{\alpha} \left( e^{-\alpha A} – 1 \right).
\end{align*}
Or, \(\displaystyle \lim_{A \to +\infty} e^{-\alpha A} = 0\), car \( \alpha > 0 \)
D’où : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt = -\frac{1}{\alpha}(0-1)\)
In fine, on a donc que : \[
\boxed{\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt = \frac{1}{\alpha}}
\]
Intégrale et fonction gamma
La fonction gamma doit être maîtrisée en maths approfondies.
La voici :
\[
\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} \, dx, \quad s > 0
\]
Nous allons traiter ici d’un cas particulier lié à cette fonction gamma, à savoir l’intégrale :
\[
\int_{0}^{+\infty} x^n e^{-\alpha x} \, dx
\]
Dès que tu dois calculer une intégrale où il y a des puissances de n et des exponentielles, il est toujours utile de se rapporter à la fonction gamma.
Posons d’abord \(A > 0\).
Il faut maintenant faire un changement d’indice, à savoir : \(u = \alpha x, \quad du = \alpha \, dx\).
Ce changement d’indice nous donne que :
\[
\begin{align*}
\int_{0}^{A} x^n e^{-\alpha x} \, dx
&= \int_{0}^{\alpha A} \left(\frac{u}{\alpha}\right)^n e^{-u} \, \left(\frac{du}{\alpha}\right) \\
&= \frac{1}{\alpha^{\,n+1}} \int_{0}^{\alpha A} u^n e^{-u} \, du
\end{align*}
\]
Donc, on a que : \[
\begin{align*}
\int_{0}^{+\infty} x^n e^{-\alpha x} \, dx
&= \lim_{A \to +\infty} \frac{1}{\alpha^{\,n+1}} \int_{0}^{\alpha A} u^n e^{-u} \, du
\end{align*}
\]
Or, \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{n} e^{-u} \, du = \Gamma(n+1)\)
Donc :
\[
\int_{0}^{+\infty} x^n e^{-\alpha x} \, dx = \frac{1}{\alpha^{\,n+1}} \, \Gamma(n+1)
\]
D’où : \[
\boxed{\int_{0}^{+\infty} x^n e^{-\alpha x} \, dx \;=\; \frac{n!}{\alpha^{\,n+1}}}
\]
Lien entre intégrales de type exponentiel et loi normale
Il existe un lien fort entre les intégrales du type \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{a t^2 – 2ab t + c} \, dt\) et la loi normale.
En effet, \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{a t^2 – 2ab t + c} \, dt
= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(\sqrt{a}\,t – \sqrt{a}\,b)^2 – ab^2 + c} \, dt
= e^{-ab^2 + c} \times \int_{-\infty}^{+\infty} e^{a (t-b)^2} \, dt\)
Or, \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{a (t-b)^2} \, dt
= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\tfrac{(t-b)^2}{2 \times \tfrac{1}{2a}}} \, dt
= \sqrt{2\pi} \times \tfrac{1}{\sqrt{2a}} \int_{-\infty}^{+\infty} \tfrac{1}{\sqrt{2\pi} \times \tfrac{1}{\sqrt{2a}}} \, e^{-a (t-b)^2} \, dt\)
Cette dernière intégrale est, en réalité, l’intégrale d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi \(\mathcal{N}\!\left(b, \tfrac{1}{2a}\right)\). Elle vaut donc 1.
On a ainsi que : \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{a (t-b)^2} \, dt = \sqrt{\,\frac{\pi}{a}\,} \times 1\)
D’où :
\[
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{a t^2 – 2ab t + c} \, dt = \sqrt{\tfrac{\pi}{a}} \, e^{-ab^2+c}}
\]
Les intégrales de Wallis
Définition
On appelle intégrale de Wallis toute intégrale de la forme : \[
W_n = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^n(x) \, dx
\quad \text{ou} \quad
W_n = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n(x) \, dx
\]
Résultats/propriétés à connaître
Cas particuliers (premières valeurs)
\(W_0 = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^0(x)\,dx = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1 \, dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\pi}{2}\)
\(W_1 = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = \bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = 1\)
Relation entre \(W_n\) et \(W_{n-2}\)
On a que : \[
\forall n \geq 2, \quad W_n = \frac{n-1}{n} \, W_{n-2}
\]
Pour montrer cela, il faut utiliser le fait que : \[
W_n = \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos^n(x)\,dx
= \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,\cos^{\,n-1}(x)\,dx
\]
Il s’agira ensuite de réaliser une IPP (intégration par parties) avec \(u'(x) = \cos(x), \quad v(x) = \cos^{\,n-1}(x)\).
Cas pair et cas impair
\(\forall n \in \mathbb{N}, \; W_{2n+1} = \frac{\bigl(2^n n!\bigr)^2}{(2n+1)!}\)
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad W_{2n} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n)!}{\bigl(2^n n!\bigr)^2}\)
On peut démontrer ces deux résultats par récurrence ou par itération (moins rigoureux).
L’intégrale bêta
Définition
On appelle intégrale bêta l’intégrale définie par :
\[
B(x,y)=\int_{0}^{1} t^{\,x-1}\,(1-t)^{\,y-1}\,dt,\qquad x>0,\;y>0.
\]
Résultats/propriétés à connaître
Cas particulier : quand un des paramètres vaut 1
\(B(1,y) = \displaystyle\int_{0}^{1} (1-t)^{y-1}\,dt \;=\; \frac{1}{y}, \quad y>0\)
\(B(x,1)=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{\,x-1}\,dt \;=\; \frac{1}{x}, \quad x>0\)
Symétrie
Cette intégrale est dite symétrie, i.e. :
\[
B(x,y) = B(y,x)
\]
On peut montrer ce résultat en procédant au changement de variable \(u = 1 – t, \quad du = -dt\).
Lien avec la fonction gamma
Il existe un fort lien entre l’intégrale bêta et la fonction gamma, à savoir que : \(B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
Formule importante
Il y a une formule qui lie \(B(x,y+1)\) et \(B(x,y)\), à savoir :
\[
B(x,y+1) = \frac{y}{x+y}\, B(x,y)
\]
Pour démontrer cela, on peut s’appuyer sur le lien avec la fonction gamma.
En effet :
\[
\begin{align*}
\frac{y}{x+y} B(x,y)
&= \frac{y}{x+y} \cdot \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \\
&= \frac{\Gamma(x)\Gamma(y+1)}{\Gamma(x+y+1)} \\
&= B(x,y+1)
\end{align*}
\]
Les intégrales de Dirichlet
Définition
On appelle intégrale de Dirichlet l’intégrale définie par \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\).
Résultat principal
Le résultat principal à connaître concernant ce type d’intégrale est que : \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}\)
L’intégrale de Gauss
Définition
On appelle intégrale de Gauss l’intégrale définie par \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)
Résultat principal
Le résultat principal à connaître concernant ce type d’intégrale est que : \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\).
Démonstration
La démonstration se fait à l’aide de la loi normale.
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx
&= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \frac{x^2}{2 \times \frac{1}{2}}} \, dx \\
&= \sqrt{2\pi} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{1}{\sqrt{2\pi} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}
e^{- \frac{x^2}{2 \times \frac{1}{2}}} \, dx
\end{aligned}
\]
Or, \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \frac{x^2}{2 \times \frac{1}{2}}} \, dx\) est l’intégrale d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi \(\mathcal{N}(0, \tfrac{1}{2})\). Donc, elle vaut 1.
D’où :
\[
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}}
\]
La transformée de Laplace
Définition
On appelle transformée de Laplace la fonction définie par : \( F(p) = \mathcal{L}(f)(p) = \int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t) \, dt \).
Propriété importante
Elle est linéaire : \( \forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, \ \mathcal{L}(af + bg) = a\mathcal{L}(f) + b\mathcal{L}(g) \).
Conclusion
Ce répertoire des intégrales à connaître n’est absolument pas exhaustif, mais il t’expose les plus importantes qui tombent régulièrement dans des sujets du top 5. Alors, tâche de les maîtriser !
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
