La règle de l’Hospital est un théorème utilisant la dérivation pour déterminer les valeurs de limites des formes indéterminées. Elle établit que, sous certaines conditions, la limite d’un quotient de deux fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées. La règle de l’Hospital tire son nom du marquis qui a publié l’ouvrage au XVIIe siècle présentant cette règle. Depuis, elle a admis des généralisations que nous allons présenter. Dans cet article, nous présenterons l’énoncé classique de la règle de l’Hospital, avant d’étudier les généralisations qu’elle admet. Nous réaliserons ensuite quelques exemples d’application, puis nous reviendrons sur les cas limites de cette règle.
Règle classique
Soit \(a\) un point de l’adhérence d’un intervalle \(I\). Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables sur \(I \setminus \{a\}\). On suppose que la dérivée \(g’\) ne s’annule pas au voisinage de \(a\). Si l’on se trouve dans le cas d’une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}\), c’est-à-dire :
\[\lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = 0\]
Alors, si la limite du quotient des dérivées existe dans \(\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\), on a :
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Généralisations
La règle de l’Hospital s’étend à des configurations plus complexes que le simple rapport de fonctions s’annulant en un point réel. Traitons le cas des limites des fonctions aux bornes infinies, puis l’itération de la règle de l’Hospital.
Limites aux bornes infinies
Le point d’accumulation \(a\) peut être \(+\infty\) ou \(-\infty\). La démonstration repose alors sur un changement de variable de type \(u = \frac{1}{x}\) pour se ramener à une limite en \(0\).
En effet, on se rapporte au cas \(a=0\) avec le changement de variable \(u=\frac{1}{x}\) puisque \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}= 0\). Il faut alors penser à changer les variables \(x\) des fonctions par la variable muette \(u\).
Nous verrons un exemple d’application dans la partie de cet article consacrée aux exemples d’application.
Itération de la règle
Si le quotient \(\frac{f’}{g’}\) présente à son tour une forme indéterminée, la règle peut être appliquée de nouveau. Si les fonctions sont \(n\) fois dérivables et que les \(n-1\) premières dérivées s’annulent en \(a\), alors :
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}\]
Cette propriété peut d’ailleurs se prouver très rapidement par une récurrence très abordable que nous ne développerons pas ici.
Extension aux limites infinies des fonctions
La règle classique de l’Hospital (telle qu’énoncée dans son ouvrage) prévoit que \(\lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = 0\)
Mais la règle est en fait également valable dans le cas où :
\(\lim_{x \to a} f(x) = \infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = \infty\)
Exemples d’application détaillés
Voici quatre questions très rapides où tu pourras mobiliser cette règle. Tu trouveras à la suite les réponses aux questions !
Questions
Question 1 : Déterminer la limite en \(0\) de \(f:x \mapsto \frac{e^x – 1 – x}{x^2}\).
Question 2 : Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(x \mapsto \frac{x^n}{e^x}\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\).
Question 3 : Déterminer la limite en \(0^+\) de \(x \mapsto x^x\).
Question 4 : Déterminer la limite en \(1\) de \(x \mapsto \left(\frac{1}{\ln(x)} – \frac{1}{x-1}\right)\).
Réponses aux questions
Réponse 1 : C’est une forme \(\frac{0}{0}\). On applique la règle une première fois : \(\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{e^x – 1}{2x}\). C’est encore une forme \(\frac{0}{0}\). Par itération, on calcule \(\frac{f”(x)}{g”(x)}= \frac{e^x}{2}\). Comme \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = 1/2\), la limite recherchée est \(1/2\) d’après la règle de l’Hospital.
Réponse 2 : On trouve ici une forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Par itérations successives (n fois), le numérateur devient la constante \(n!\) tandis que le dénominateur reste \(e^x\). En effet, la première dérivation du nominateur donne \(nx^{n-1}\), ensuite cela donne \(n(n-1)x^{n-2}\) jusqu’à donner \(n(n-1)…2 \times 1 \times x^0 = n!\). Puisque \(\lim_{x \to +\infty} n!/e^x = 0\) par croissances comparées, la limite est \(0\).
Réponse 3 : On passe par la forme \(x^x = e^{x \ln(x)}\). Pour l’exposant, on écrit \(\frac{\ln(x)}{1/x}\) (forme \(\frac{\infty}{\infty}\)). Le quotient des dérivées est \(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = -x\). La limite de l’exposant est \(0\), donc \(\lim x^x = e^0 = 1\).
Réponse 4 : On réduit au même dénominateur : \(\frac{x – 1 – \ln(x)}{(x-1)\ln(x)}\). Après deux applications de la règle pour lever les formes \(0/0\) successives, on aboutit à la limite \(1/2\).
Non-nécessité de la règle de l’Hospital
L’existence de la limite du quotient des dérivées est une condition suffisante, mais pas nécessaire. Il est important de noter que la règle de l’Hospital est une condition suffisante, mais non nécessaire. Si la limite du quotient des dérivées n’existe pas, cela ne signifie pas que la limite du quotient original n’existe pas.
Preuve par contre-exemple
Soient \(f(x) = x + \sin(x)\) et \(g(x) = x\). Étudions la limite du quotient des deux fonctions en \(+\infty\).
Le quotient original est \(1 + \frac{\sin(x)}{x}\). Comme le sinus est borné entre – 1 et 1, on prouve simplement par encadrement que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0\), donc la limite du quotient est 1.
Cependant, calculons le quotient des dérivées :
\(f'(x) = 1 + \cos(x)\) et \(g'(x) = 1\).
Le rapport des dérivées est \(1 + \cos(x)\). Cette fonction oscille entre \(0\) et \(2\) sans jamais converger en \(+\infty\).
Ainsi, la règle de l’Hospital peut être inopérante même si la limite du quotient original existe.
Conclusion
En définitive, la règle de l’Hospital est très utile en pratique pour étudier la limite d’un quotient de fonctions qui présente a priori une forme indéterminée. Attention simplement à vérifier les conditions d’utilisation de cette règle avant de dériver les deux fonctions et d’étudier la limite de leur caution.
Aussi, rappelle-toi que ce n’est pas parce que le quotient des fonctions dérivées ne converge pas que le quotient initial étudié ne converge pas non plus.
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