En algèbre linéaire, les matrices représentatives d’endomorphismes jouent un rôle majeur. Représenter ces endomorphismes par des matrices carrées simplifie leur étude et leur compréhension. Il est essentiel de s’y référer dès que possible, car ces matrices offrent de multiples informations et astuces que nous allons étudier ici et qui sont aussi importantes pour les épreuves du top 5 que celles des Parisiennes.
Dans tout l’article, nous noterons \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n,\) \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(B\) une base de \(E.\)
Astuce 1
Représenter matriciellement un endomorphisme
Pour calculer la matrice d’un endomorphisme \(f\) dans une base \(B\), on commence par calculer les images des vecteurs de \(B\) par \(f\), puis on décompose celles-ci dans la base \(B\).
Par exemple, si on note \(f\) l’endomorphisme de \(R2[X]\) défini par \(f\)(P)=XP’+P(1) et en notant \(B\)=(1,X,\(X^{2}\)), on a \(f\)(1)=1, \(f\)(X)=X+1 et \(f\)(\(X^{2}\))=2\(X^{2}\)+1. En notant \(A\), la matrice représentative de \(f\), on a donc : \(A\)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Astuce 2
Déterminer la dimension de l’image et du noyau d’un endomorphisme à partir de sa matrice représentative
On note \(f\) l’endomorphisme de \(R2[X]\) de matrice \(A\)=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}
On a rg(\(f\))=rg(\(A\))=2, car les deux dernières colonnes sont proportionnelles et que les deux premières colonnes sont ni nulles ni proportionnelles.
En appliquant le théorème du rang à l’endomorphisme \(f\) de \(R2[X]\) qui est de dimension finie (et égale à 3), on a dim(ker(\(f\)))=3-rg(\(f\))=1.
Astuce 3
Trouver une inclusion du spectre de f à partir de la matrice représentative et d’un polynôme annulateur
La matrice d’un endomorphisme joue un rôle essentiel dans la détermination de son spectre, et peut s’avérer utile, voire indispensable dans certains cas. En effet, un endomorphisme a le même spectre que sa matrice. Donnons un cas simple pour traiter le cas du polynôme annulateur.
Si \(f\) est représenté par \(A\)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
On remarque que \(A^{3}\)-\(A^{2}\)+\(A\)=0. Ainsi, P(X)=\(X^{3}\)-\(X^{2}\)+X est un polynôme annulateur de \(A\) et sa seule racine réelle est 0, donc Sp(\(f\)) \(\subset\) {0}.
Astuce 4
Déterminer un spectre à partir de la matrice représentative
Si \(f\) est représenté par \(A\)=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
On a Sp(\(f\))=Sp(\(A\))={3,4}, car les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale. Cette technique est véritablement efficace et il faut avoir rapidement le coup d’œil si une question fait appel à cette astuce.
Astuce 5
Déterminer la puissance n-ième et l’inverse d’un endomorphisme à partir de sa matrice représentative
Si on s’intéresse à la puissance n-ième d’un endomorphisme ou à son potentiel caractère bijectif, il est indispensable de se tourner vers la matrice représentative de l’endomorphisme \(f\), car Mat\(B\)(\(f^{n}\))=\((MatB(f))^{n}\) et Mat\(B\)(\(f^{-1}\))=\((MatB(f))^{-1}\).
Par exemple, si \(A\)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
On peut conjecturer (puis prouver par récurrence) que \(\forall n \in\mathbb{N*}\) \(A^{n}\)=\(3^{n-1}\)\(A\), ce qui donne l’expression de \(f^{n}\).
Astuce 6
Trouver la trace d’un endomorphisme à partir de sa matrice représentative
On sait, d’après le cours, que la trace d’un endomorphisme \(f\) correspond à la trace de sa matrice dans n’importe quelle base. Par conséquent, il suffit de sommer les éléments diagonaux de \(A\) (définition de la trace) pour obtenir la trace de \(f\).
De cette façon, on peut montrer que si \(f\) est un projecteur de \(E\), on a Tr(\(f\))=rg(\(f\)). En effet, sur la matrice représentative de \(f\), il y aura rg(\(f\)) fois 1 et de dim(ker(\(f\))) fois 0 sur sa diagonale.
Astuce 7
Caractérisation des matrices semblables à partir des matrices représentatives d’endomorphismes
On sait que deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent « le même endomorphisme dans deux bases (différentes) d’un même espace vectoriel ».
Donnons un exemple. Notons (e1,e2,e3) la base canonique de \(R^{3}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(R^{3}\) canoniquement associé à la matrice \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Comme \(f\)(e1)=(0,0,0), \(f\)(e2)=e1 et \(f\)(e3)=e1+e3, la matrice de \(f\) dans la base (e3, e1, e2) est la matrice \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Donc ces deux matrices sont semblables.
Astuce 8
Stabilité et représentation par blocs (utile surtout pour les Parisiennes) à partir des matrices représentatives d’endomorphismes
Soient \(F\), \(G\) deux sous-espaces supplémentaires de \(E\), de dimensions respectives p, n − p et n, et une base adaptée \(\mathcal{B}=(e_i)_{1 \le i \le n}\) à la décomposition \(E\)=\(F\)\(\oplus\)\(G\). Alors, \(F\) est stable par \(f\) si et seulement si la matrice M de \(f\) dans la base \(B\) est de la forme : M=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} avec \(A\) \(\in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\), \(B\) \(\in \mathcal{M}_{p,n-p}(\mathbb{R})\), \(C\) \(\in \mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{R})\) et 0 la matrice nulle de \(\mathcal{M}_{n-p,p}(\mathbb{R})\). On parle de matrice définie par blocs.
Te voilà désormais parfaitement prêt(e) pour allier endomorphismes et matrices représentatives et devenir un(e) pro de l’algèbre linéaire ! Pour plus d’articles sur le sujet, tu peux cliquer ici.
