Hello ! On se retrouve aujourd’hui pour un article bonus portant sur les formules de Taylor. Pourquoi ces formules ? Parce que elles sont très utiles et qu’elles posent problème à beaucoup de préparationnaires. De plus, elles tombent souvent dans les énoncés de concours et les questions qui les utilisent valent souvent beaucoup de points. Maîtriser ces formules vous assure souvent une bien meilleure note au concours … Prêt ? C’est parti !
I- Les inégalités de Taylor
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \).
Formule de Taylor-Lagrange :
Soient \( f : I \to \mathbb{R} \) et \( a,b \in I \). Supposons que \( f \) est \( n \) fois dérivable sur \( [a,b] \) et \( n+1 \) fois dérivable sur \( ]a,b[ \). Alors \( \exists c \in ]a,b[ \) tel que :
\[ \fbox{\( f(b) \ – \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-a)^k}{k!} = \frac{f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\)} \]
Inégalité de Taylor-Lagrange :
\[ \fbox{ \( \left| f(b)- \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right| \le \sup_{I(a,b)}| f^{(n+1)}| \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!} \)} \]
Formule de Taylor avec reste intégral :
Soit \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) de classe \( \mathcal C^{n+1} \).
\[ \fbox{ \( f(b)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)+ \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{(b-a)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t \) } \]
Formule de Taylor-Young :
Soient \( f : I \to \mathbb{R} \) et \( a \in I \). Supposons que \( f \) est \( n-1 \) fois dérivable dans un voisinage de a (c’est-à-dire : \( \exists h \in \mathbb{R} \), f est dérivable sur \( ]a-h,a+h[ \)) et que \( f^{(n)}(a) \) existe. Alors \( f \) admet un développement limité d’ordre \( n \) en \( a\) qui vaut :
\[ \fbox{ \( f(a+h) = \displaystyle \sum _{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + o(h^n) \)} \]
Généralisation (HP) :
Si tu as la chance de continuer les mathématiques, tu croiseras les formules de Taylor pour des fonctions à plusieurs variables. Avis aux plus curieux :
Soient \( U \) un ouvert de \( \mathbb{R}^n \ , \ f : U \to \mathbb{R}^p \) et \(a \in U \). On note : \( D^k f(a)(h)^k = \displaystyle \sum _{i_1, … , i_k =1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_1} … \partial x_{i_k}}(a)h_{i_1}h_{i_k} \).
Formule de Taylor-Lagrange : Si \( f \) est \( k \) fois différentiable en \( a \), alors :
\[ \fbox{\( f(a+h) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \frac{D^j f(a)(h)^j}{j!} + o(\|h\| ^k) \)} \]
Formule de Taylor avec reste intégral: Si \( f \) est de classe \( \mathcal C^{k+1} \) sur \( U \) et que \( [a, a+h ] \subset U \), alors :
\[ \fbox{\( f(a+h) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \frac{D^j f(a)(h)^j}{j!} + \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^k}{k!} D^{(k+1)}f(a+th)(h)^{k+1} \, \mathrm{d}t \)} \]
Pour vous familiariser avec cette notion, libre à vous de consulter le problème de Ecricome 2008 juste ici.
II – Taylor – Méthodes et utilisation
Ces formules sont utile pour :
- Majorer une expression.
- Dériver une fonction définie par une intégrale impropre.
- Exprimer une intégrale impropre sous forme de série.
Voyons un petit exemple :
Question :
Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R}, |sin(x)| \le |x| \)
Réponse :
Soit \( x \in \mathbb{R} \).
D’après l’inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction \( t \mapsto sin(t) \) en \( 0 \), on a :
\( |sin(x) – sin(0)| \le M|x-0| \) avec \( M := \max_{t \in [0,x]} |sin'(t)| = 1 \)
D’où : \( \fbox{\( |sin(x)| \le |x| \)} \)
Regarde l’exercice 1 de Ecricome 2010 ou l’exercice 2 de Ecricome 2008 si tu souhaites t’entraîner sur cette technique (c’est par ici ou par là).
Tu peux aussi consulter Ecricome 2018, Ecricome 2017 ou la Maths II 2013 partie 1 pour t’entraîner d’avantage.
Conclusion
Voilà ! J’espère que cet article de Major-Prépa te permettra d’y voir plus clair sur les formules de Taylor, et plus si affinités. N’hésite pas à consulter nos autres articles pour acquérir les méthodes en mathématiques afin de devenir un·e chef·fe !
