Focus sur l’inégalité de Taylor-Lagrange

Mathématiques 29 octobre 2018 Yann Merlaud

On se retrouve aujourd’hui pour un article bonus qui traitera uniquement de l’inégalité de Taylor-Lagrange. Pourquoi cette formule ? Parce que c’est la plus...

On se retrouve aujourd’hui pour un article bonus qui traitera uniquement de l’inégalité de Taylor-Lagrange. Pourquoi cette formule ? Parce que c’est la plus utile des formules de Taylor et qu’elle pose problème à beaucoup de préparationnaires. De plus, elle tombe souvent dans les énoncés de concours et les questions qui l’utilisent valent beaucoup de points. Maîtriser cette formule vous assure souvent une bien meilleur note aux concours, allons y !

L’inégalité de Taylor-Lagrange

Soient n un entier naturel et f une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle I de R, on a :

$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;\left|f(x)-\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}\right|\leqslant M\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$ où M = $\ds\max_{[a,x]}|f^{(n+1)}|}$ .

On dit alors qu’on applique l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n à la fonction f en a .

Dans la pratique, cette formule est utilisée 90% du temps avec a = 0 .

Notez que lorsque n = 0 , cette formule s’appelle aussi l’inégalité des accroissements finis.

Le plus dur c’est de s’en souvenir, pour ce faire, rappelez vous de vos punitions à l’école primaire. Recopiez la jusqu’à ce que vous sachiez la recopier sans regarder (c’est le meilleur moyen que j’ai trouvé).

Utilisations et méthodes

Cette formule est utile pour :

Majorer une expression.
Dériver une fonction définie par une intégrale impropre.
Exprimer une intégrale impropre sous forme de série.

Voyons un exemple pour chacune des utilisations.

Majorer une expression

Question :

Montrer que pour tout réel x , | sin(x) | ≤ | x | .

Réponse :

Soit x un réel, d’après l’inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction sin en 0 on a :

| sin(x) – sin(0) | ≤ M| x – 0 | où M = max | sin'(x) | = max | cos(x) | = 1 donc | sin(x) | ≤ | x | .

Dériver une fonction définie par une intégrale impropre

En prépa EC nous n’avons pas de théorème pour dériver les fonctions définies par une intégrale impropre. Mais heureusement, cette formule nous permet de le faire !