Les fonctions homogènes sont des objets fondamentaux en mathématiques et elles apparaissent dans de nombreux domaines, comme l’économie. Elles sont particulièrement utiles pour étudier des phénomènes où les résultats sont proportionnels aux variations des variables d’entrée (du fait de la définition même de l’homogénéité). Cet article explore les définitions des fonctions homogènes à une variable et à \(n\) variables, établit la règle d’Euler et donne des exemples de fonctions homogènes classiques.
Définitions des fonctions homogènes
Fonctions homogènes à une variable
Une fonction \( f \) à une variable réelle est dite homogène de degré \( k \) si, pour tout scalaire \( \lambda \), elle satisfait la condition suivante :
\[
f(\lambda x) = \lambda^k f(x)
\]
Cela signifie que lorsque l’on multiplie l’argument de la fonction par un facteur \( \lambda \), la fonction elle-même est multipliée par \( \lambda^k \). Autrement dit, le degré d’homogénéité \( k \) indique dans quelle mesure la fonction réagit à un changement d’échelle des variables d’entrée.
Exemple
La fonction \( f(x) = x^2 \) est homogène de degré 2 (nous reviendrons plus tard sur l’homogénéité des polynômes qui constitue un cas très particulier d’homogénéité), car :
\[
f(\lambda x) = (\lambda x)^2 = \lambda^2 f(x)
\]
Fonctions homogènes à \(n\) variables
Une fonction \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) à \( n \) variables est homogène de degré \( k \) si, pour tout scalaire \( \lambda \), elle satisfait à la condition :
\[
f(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k f(x_1, x_2, \dots, x_n)
\]
Ici, chaque variable \( x_i \) est multipliée par \( \lambda \), et la fonction est multipliée par \( \lambda^k \).
Exemple
Si \( f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 \), alors la fonction est homogène de degré 2, car :
\[
f(\lambda x_1, \lambda x_2) = (\lambda x_1)^2 + (\lambda x_2)^2 = \lambda^2 (x_1^2 + x_2^2) = \lambda^2 f(x_1, x_2)
\]
Polynômes homogènes
Venons-en au cas particulier des polynômes : un polynôme homogène est un polynôme dont tous les termes ont le même degré. En d’autres termes, un polynôme \( P(x_1, x_2, \dots, x_n) \) est homogène de degré \( k \) si tous ses monômes ont pour somme des exposants égale à \( k \).
Formellement, un polynôme homogène de degré \( k \) en \( n \) variables est de la forme :
\[
P(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i_1 + i_2 + \dots + i_n = k} a_{i_1, i_2, \dots, i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_n^{i_n}
\]
où \( a_{i_1, i_2, \dots, i_n} \) sont des coefficients et les indices \( i_1, i_2, \dots, i_n \) sont des entiers non négatifs tels que la somme \( i_1 + i_2 + \dots + i_n = k \).
Exemple
Un exemple classique de polynôme homogène de degré 2 est le suivant :
\[
P(x_1, x_2) = a_1 x_1^7 + a_2 x_2^7 + a_3 x_1^3 x_2^4
\]
Ce polynôme est homogène de degré 7, car chaque terme a un degré total de 7 (\( 7, 7, 3+4)\).
Prenons un autre exemple pour comprendre graphiquement la propriété d’homogénéité :
Soit \(P(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2\). Traçons le graphique de cette fonction :
On voit ainsi que plus les valeurs de \(x_1\) et \(x_2\) s’écartent de \(0\), plus les valeurs de \(f\) augmentent de façon non linéaire (plus précisément, elles sont multipliées par un facteur carré ( \(\lambda^2\))).
Propriétés des fonctions homogènes
Parmi les propriétés les plus utiles autour des fonctions homogènes, établissons celle qui se rapproche le plus de la définition de l’homogénéité et qui est relativement accessible avec les outils du programme de prépa ECG : la règle d’Euler.
Règle d’Euler
La règle d’Euler est une propriété fondamentale des fonctions homogènes, qui relie une fonction homogène à ses dérivées partielles. Si une fonction \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) est homogène de degré \( k \), alors la règle d’Euler stipule que :
\[
x_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + \dots + x_n \frac{\partial f}{\partial x_n} = k f(x_1, x_2, \dots, x_n)
\]
Petite précision concernant une règle de notation qui n’est pas toujours abordée en prépa : la notation \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) signifie « la dérivée partielle de \(f\) par rapport à la variable \(x_i\) ».
Nous ne démontrerons pas cette propriété ici, car la démonstration est relativement longue, donc peut utile à traiter, d’autant que la notion est largement hors programme.
Fonctions homogènes classiques
Il existe plusieurs classes de fonctions homogènes qui sont ultra-classiques. Présentons-les en démontrant cette propriété d’homogénéité.
Application linéaire
Une application linéaire \( T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) est homogène de degré 1. Pour tout \( \lambda \in \mathbb{R} \) et pour tous les vecteurs \( x \in \mathbb{R}^n \), la propriété suivante est vérifiée :
\[
T(\lambda x) = \lambda T(x)
\]
Cela découle directement de la linéarité de \( T \), où \( T(a x + b y) = a T(x) + b T(y) \).
Fonction sous-linéaire
Une fonction \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) est dite sous-linéaire si elle satisfait les deux conditions suivantes :
1. Positivité homogène : \( f(\lambda x) \leq \lambda f(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R}^n \) et pour tout \( \lambda \geq 0 \).
2. Subadditivité : \( f(x + y) \leq f(x) + f(y) \) pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^n \).
Nous allons utiliser la subadditivité de \( f \). En particulier, pour \( x \) et \( \lambda x \), on peut appliquer la subadditivité :
\[
f(x + \lambda x) \leq f(x) + f(\lambda x).
\]
Cela revient à :
\[
f((1 + \lambda) x) \leq f(x) + f(\lambda x).
\]
Par la condition de positivité homogène, on a :
\[
f((1 + \lambda) x) \leq (1 + \lambda) f(x).
\]
D’autre part, en appliquant la condition de sous-linéarité à \( f(\lambda x) \), on obtient :
\[
f(\lambda x) \leq \lambda f(x).
\]
Maintenant, nous pouvons combiner ces deux résultats pour conclure que :
\[
f(\lambda x) = \lambda f(x).
\]
En conclusion, la sous-linéarité garantit que la fonction est homogène de degré 1.
Dérivée directionnelle d’une fonction homogène
Voici une autre fonction homogène, mais dont la démonstration est plus exotique. À faire après avoir bien assimilé le cours sur les fonctions à n-variables !
La dérivée directionnelle d’une fonction \( f(x) \) dans une direction \( h \) est homogène de degré 1 si la fonction elle-même est homogène de degré 1. La dérivée directionnelle, comme définie par :
\[
D_h f(x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t h) – f(x)}{t}
\]
est homogène de degré 1 si la fonction \( f(x) \) l’est également.
Démonstration
Si \( f(x) \) est homogène de degré 1, alors pour \( \lambda > 0 \) :
\[
f(\lambda x) = \lambda f(x)
\]
La dérivée directionnelle de \( f \) devient :
\[
D_h f(\lambda x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\lambda x + t \lambda h) – f(\lambda x)}{t} = \lambda \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t h) – f(x)}{t} = \lambda D_h f(x)
\]
Cela montre que la dérivée directionnelle est homogène du même degré que la fonction à dériver.
Déterminant d’une matrice
Voici déjà une propriété hors programme : pour une matrice \( A \) de taille \( n \times n \), on a :
\[
\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)
\]
Tu pourras aisément vérifier cette propriété dans le cas \(n=2\) puisque tu sais normalement calculer le déterminant d’une matrice carrée de taille \(2*2\).
Ainsi, l’application qui, à une matrice carrée, associe son déterminant est une application homogène.
Conclusion
En définitive, il existe une grande variété de fonctions homogènes qui pourraient être étudiées dans un sujet d’oral consacré à la propriété d’homogénéité ou encore sur une partie de sujet écrit de type Maths I. Si cette propriété existe autant pour les fonctions à une qu’à plusieurs variables, elle est davantage utile dans le cas des fonctions à plusieurs variables, d’où le développement sur les applications homogènes classiques à n-variables.
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