Dans cet article, nous allons étudier deux inégalités classiques qui sont hors programme en prépa ECG : l’inégalité de Jordan et l’inégalité de Huygens. Ces deux inégalités font intervenir toutes les deux la fonction sinus et permettent à cet égard de l’encadrer afin d’obtenir des inégalités sur des fonctions, intégrales ou sommes faisant intervenir cette fonction trigonométrique. Nous allons donc revenir sur l’inégalité de Jordan, puis celle de Huygens, avant de développer quelques points d’attention autour de ces deux formules et de nous exercer sur des exemples d’applications des inégalités.
Introduction
La difficulté avec la fonction sinus est sa courbure : si l’approximation \( \sin(x) \approx x \) fonctionne très bien au voisinage de 0, elle devient médiocre dès que l’on s’éloigne vers \( \pi/2 \) (d’ailleurs, cet équivalent usuel n’existe pas au voisinage de \( \pi/2 \)) . L’enjeu de Jordan et Huygens est de proposer des fonctions affines ou rationnelles qui fournissent un encadrement précis du sinus sur tout l’intervalle \( [0, \pi/2] \).
L’inégalité de Jordan
Énoncé
L’inégalité de Jordan est sans doute la plus célèbre des deux. Elle permet d’encadrer la fonction sinus par deux droites passant par l’origine sur \( [0, \pi/2] \).
Pour tout \( x \in [0, \pi/2] \), on a :
\[\fbox{\( \displaystyle\frac{2}{\pi}x \leq \sin(x) \leq x\)}\]
Démonstration
Considérons la fonction \( f : x \mapsto \sin(x) \) sur \( [0, \pi/2] \). Sa dérivée seconde est \( f”(x) = -\sin(x) \). Sur \( [0, \pi/2] \), \( f”(x) \leq 0 \), donc la fonction sinus est concave.
Par définition de la concavité, la courbe est située au-dessus de ses cordes.
La corde reliant \( O(0, 0) \) et \( A(\pi/2, 1) \) a pour équation \( y = \frac{1 – 0}{\pi/2 – 0}x = \frac{2}{\pi}x \).
On en déduit immédiatement : \( \forall x \in [0, \pi/2], \sin(x) \geq \frac{2}{\pi}x \).
S’agissant de l’autre partie de l’inégalité, une solution très accessible consiste à passer par l’étude de la fonction \(f\) définit par \(\forall x \in [0;\frac{\pi}{2}], f(x) = \sin(x)-x\) en montrant que cette fonction est négative sur son intervalle de définition. Cependant, on peut aller encore plus vite en reprenant l’argument de concavité de la fonction sinus sur cet intervalle, puisque cela signifie que la fonction est en dessous de ses tangentes.
L’équation d’une tangente est donnée par \( y = f'(a)(x – a) + f(a) \).On a \( f(0) = \sin(0) = 0 \). La dérivée est \( f'(x) = \cos(x) \), donc \( f'(0) = \cos(0) = 1 \). L’équation de la tangente en \( 0 \) est donc : \(y = 1(x – 0) + 0 \Rightarrow y = x\).
Par l’argument de concavité du sinus sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), on conclut ainsi la démonstration de l’inégalité de Jordan.
L’inégalité de Huygens
Si Jordan utilise une approche globale par la concavité, Huygens propose un encadrement plus fin via la fonction tangente. Cependant, la fonction tangente est plus complexe à manipuler que \(f(x) = x\).
Énoncé
Pour tout \( x \in [0, \pi/2[ \), on a :
\[\fbox{\( \displaystyle 2\sin(x) + \tan(x) \geq 3x\)} \]
Démonstration
Une manière intuitive de prouver cette inégalité est de poser \( g(x) = 2\sin(x) + \tan(x) – 3x \) et d’étudier cette fonction. La dérivée \( g'(x) = 2\cos(x) + \frac{1}{\cos^2(x)} – 3 \).
Cette expression peut sembler difficile à manipuler mais, en réalité, elle se factorise en une expression qui permet facilement d’étudier son signe. On peut alors obtenir : \(g'(x) = \normalsize{\frac{(\cos(x) – 1)^2(2\cos(x) + 1)}{\cos^2(x)}} \).
Comme \( g'(x) \geq 0 \), la fonction \( g \) croît sur l’intervalle et on voit aussi que \( g(0)=0 \), donc \(g\) est positive sur l’intervalle. En passant le terme \(3x\) de l’autre côté de l’inéquation, on obtient donc le résultat souhaité !
Astuces autour de ces formules
Autour de la fonction sinus cardinal
La fonction sinus cardinal est définie par :
La valeur du sinus cardinal en \(x\) provenant d’un prolongement par continuité se prouve assez aisément. Il est possible d’encadrer cette fonction sur l’intervalle \( ]0, \pi/2] \) grâce à l’inégalité de Jordan.
En effet, l’inégalité de Jordan se réécrit souvent sous la forme : \( \frac{2}{\pi} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 \). Pour cela, il suffit de diviser tous les termes par \(x\).
Attention cependant, puisque, dans ce cas, l’inéquation sera définie sur l’intervalle \( ]0, \pi/2] \) en excluant le \(0\) ! C’est radical pour prouver qu’une fonction est bornée ou pour utiliser le théorème des gendarmes sur des limites de type \( 0/0 \).
Autour de l’intégrale de Wallis
Voici un article sur les intégrales de Wallis si tu ne te sens pas encore à l’aise avec cette notion.
Si on a \( \sin^n(x) \) sous une intégrale (ce qui est souvent le signe qu’on étudie l’intégrale de Wallis, dépendant des bornes d’intégration, évidemment), l’inégalité de Jordan permet de majorer l’intégrale de Wallis par une intégrale d’une simple puissance \( (\frac{2}{\pi}x)^n \).
Ensuite, il est possible de primitiver la fonction \( (\frac{2}{\pi}x)^n \) et de majorer ainsi simplement l’intégrale de Wallis.
Attention toutefois à vérifier que l’on travaille bien sur l’intervalle \( [0, \pi/2] \) pour appliquer la formule de Jordan.
Bornes de l’intervalle
Note bien les bornes des intervalles pour lesquels ces deux inéquations sont bien définies. Ce sont d’ailleurs les mêmes pour les deux inéquations ! Si tu as besoin d’appliquer la fonction sinus cardinal, alors la division par \(x\) oblige à modifier l’intervalle en conséquence pour ne pas diviser par \(0\).
Exemples d’application
Voici des exemples d’inégalités qui font intervenir les inégalités de Jordan et de Huygens avec des éléments de correction juste en dessous des énoncés.
Exemple 1 : Jordan
Énoncé : Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( \int_0^{\pi/2} e^{-n\sin(x)} dx \leq \frac{\pi}{2n} \).
Preuve :
Par Jordan, \( \sin(x) \geq \frac{2}{\pi}x \), donc \( -n\sin(x) \leq -\frac{2n}{\pi}x \).
Par croissance de l’exponentielle : \( e^{-n\sin(x)} \leq e^{-\frac{2n}{\pi}x} \).
En intégrant sur \( [0, \pi/2] \) :
\[ \int_0^{\pi/2} e^{-n\sin(x)} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-\frac{2n}{\pi}x} dx = \left[ -\frac{\pi}{2n} e^{-\frac{2n}{\pi}x} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2n}(1 – e^{-n}) \]
Comme \( 1 – e^{-n} < 1 \), on a bien la majoration par \( \frac{\pi}{2n} \).
Exemple 2 : Huygens
Énoncé : Montrer que pour tout \( x \in ]0, \pi/2[ \), on a \( \frac{\sin(x)}{x} > \frac{3}{2 + \cos(x)} \). (Astuce : revenir à la définition de la fonction tangente.)
Preuve :
L’astuce est de réécrire l’inégalité de Huygens : \( 2\sin(x) + \tan(x) > 3x \).
On sait que \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). L’inégalité devient :
\[ 2\sin(x) + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} > 3x \iff \sin(x) \left( 2 + \frac{1}{\cos(x)} \right) > 3x \]
En mettant au même dénominateur dans la parenthèse :
\[ \sin(x) \left( \frac{2\cos(x) + 1}{\cos(x)} \right) > 3x \iff \frac{\sin(x)}{x} > \frac{3\cos(x)}{2\cos(x) + 1} \]
Comme nous sommes sur l’intervalle \( ]0, \frac{\pi}{2} [ \), nous savons que \( 0 < \cos(x) < 1 \). Puisque l’on sait que : \(1 > \cos^2(x)\)
NB : Bien que Huygens soit souvent présenté sous sa forme initiale (avec la tangente), cette réécriture permet d’encadrer le rapport \( \frac{\sin x}{x} \) (le fameux sinus cardinal) avec une précision bien supérieure à celle de Jordan.
Conclusion
Ainsi, les inégalités de Jordan et des Huygens permettent donc d’encadrer la fonction sinus afin de manipuler des expressions complexes qui la font intervenir (intégrale de Wallis, par exemple, qui revient très souvent dans les sujets Ecricome, EMlyon et Edhec). Si l’inégalité de Huygens fait intervenir la fonction tangente et est à ce titre plus complexe à manipuler, il n’en reste pas moins qu’elle encadre encore plus précisément la fonction sinus.
N’hésite pas à bien maîtriser les démonstrations, surtout celle de Jordan, puisqu’elle fait intervenir des outils fondamentaux du programme.
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