Il y a des résultats hors programme, mais qui sont tellement récurrents qu’il serait une erreur de ne pas les connaître. En analyse, le lemme de Cesàro s’impose comme un de ces grands classiques, qui peut tomber à l’oral comme à l’écrit.
Je te propose donc de découvrir une démonstration de ce lemme, mais également de l’une de ses variantes. Bien évidemment, ce résultat n’est pas au programme, il faut donc, si tu souhaites l’utiliser, le démontrer auparavant.
Le résultat
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite, convergeant vers un réel noté \(l\) et soit \((c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite définie par :
\(\forall n \in \mathbb{N}^*, c_n= \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} u_k \)
D’après le lemme de Cesàro, la suite \((c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge vers \(l\). On dit aussi que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge au sens de Cesàro vers \(l\).
Pourquoi ce résultat est important ?
Déjà, il fournit une nouvelle forme de convergence de suite. On montrera par la suite que la convergence au sens classique d’une suite implique la convergence au sens de Cesàro. La réciproque est cependant fausse.
Mais c’est surtout sa démonstration qui est riche d’enseignements. Elle est l’une des preuves les plus irréfutables que la connaissance sur le bout des doigts du cours est la clé de la réussite en mathématiques. En effet, pour démontrer ce résultat, nous allons partir de la définition de la limite.
Démonstration
Comme dit précédemment, la définition de la limite est le point de départ de la démonstration de ce résultat.
\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(l\), donc, d’après le cours, on a :
\(\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}^* | \forall n \ge n_o , | u_n – l |< \epsilon \)
Considérons alors un tel \(\epsilon\), un tel \(n_0\), et \(n \ge n_0 \)
Nous cherchons à démontrer que \((c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge également vers \(l\), en utilisant également la définition de la limite. Nous allons donc partir de :
\(|c_n -l |= |\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} u_k – l|= \frac{1}{n}|\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (u_k-l)|\)
Or, d’après l’inégalité triangulaire :
\(\frac{1}{n}|\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (u_k-l)| \le \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |u_k-l|\)
On a donc : \(|c_n – l| \le \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |u_k-l|\)
Comme \(n \ge n_o\), on a \(\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |u_k-l|= \frac{1}{n} (\displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} |u_k-l| + \displaystyle \sum_{k=n_0}^{n-1}|u_k-l|) \)
Or, \(\lim \limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} |u_k-l|=0\). Donc, par définition de la limite :
\( \exists n_1 \in \mathbb{}N^*| n \ge n_1 \Rightarrow \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} |u_k-l| \le 0\)
Par ailleurs, \(\displaystyle \sum_{k=n_0}^{n-1}|u_k-l| \le (n – n_0) \epsilon \), car, on le rappelle \(\forall k \ge n_o , | u_n – l |< \epsilon \)
Ainsi, en combinant ces deux résultats, on a :
\(\forall n \ge max (n_0, n_1) , |c_n – l| \le \frac{1}{n} (\displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} |u_k-l| + \displaystyle \sum_{k=n_0}^{n-1}|u_k-l|) \le \epsilon + \frac{n-n_0}{n} \epsilon \ \le 2 \epsilon \)
Ainsi, en notant \(\epsilon’=2\epsilon \), et \(n_{\epsilon’}= max (n_0,n_1)\), on a :
\(\forall \epsilon’>0, \exists n_{\epsilon’} \in \mathbb{N} | n \ge n_{\epsilon’} \Rightarrow |c_n -l|< \epsilon’ \)
Ainsi, par définition, on a \((c_n)\) converge vers \(l\). On vient donc de montrer que si une suite converge vers un réel, elle converge au sens de Cesàro vers ce même réel.
Un résultat similaire et sa démonstration
Il existe une version alternative de ce résultat, que l’on pourrait qualifier de « lemme de Cesàro version continue » et qui se démontre sensiblement de la même manière.
Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}^+\) et telle que \(\lim \limits_{x \to +\infty} f(x)= l\), où \(l\) est un réel.
Alors, \(\lim \limits_{x \to +\infty} \frac {1}{x} \displaystyle \int_0^x f(t)dt =l\)
De la même manière, on part de la définition de la limite :
Comme \(\lim \limits_{x \to +\infty} f(x)= l\), \( \forall \epsilon >0, \exists x_0 \in \mathbb{R}^* | x \ge x_0 \Rightarrow |f(x) – l | < \epsilon \)
Alors, soit un tel ϵ et soit \(x \ge x_0\)
\(|\frac {1}{x} \displaystyle \int_0^x f(t)dt -l |=\frac {1}{x} |\displaystyle \int_0^x (f(t)-l) dt | \le \frac {1}{x} \displaystyle \int_0^x |f(t) -l| dt \), d’après l’inégalité triangulaire.
Nous allons appliquer le même raisonnement, en utilisant la relation de Chasles.
On a \(\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x |f(t)-l |dt= \displaystyle \frac {1}{x }( \displaystyle \int_0^{x_0}| f(t) -l |dt + \displaystyle\int_{x_0}^x |f(t)-l|dt )\), car \(x \ge x_0\)
Or, \(\lim \limits_{x \to +\infty}\displaystyle \frac {1}{x } \displaystyle \int_0^{x_0}| f(t) -l |dt=0 \), donc, par définition :
\( \exists x_1 \in \mathbb{R}^*|x \ge x_1 \Rightarrow\displaystyle \frac {1}{x } \displaystyle \int_0^{x_0}| f(t) -l |dt \le \epsilon\)
Et comme :
\( t \ge x_0 \Rightarrow |f(t) – l | < \epsilon \), \(\displaystyle\int_{x_0}^x |f(t)-l|dt \le (x-x_0) \epsilon \) après intégration.
Ainsi, en combinant ces deux inégalités, on a \( x \ge max(x_0;x_1) \Rightarrow |\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt – l |\le \epsilon + \frac{x-x_0}{x} \epsilon \le 2 \epsilon\)
Par définition, on a donc bien \(\lim \limits_{x \to +\infty} \frac {1}{x} \displaystyle \int_0^x f(t)dt =l\)
Conclusion
Ainsi, cet exemple est l’un des rares cas où on utilisera une démonstration « epsilonienne » pour déterminer une limite. Il est important de retenir cet exemple. En effet, une question qui consisterait à démontrer ce résultat serait un format idéal pour les questions sans préparation des oraux de l’ESCP et de HEC.
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