Cet article explore la loi d’Erlang, une distribution de probabilité essentielle en théorie des files d’attente et en télécommunications. Cette loi de probabilité est certes hors programme, mais liée à la loi exponentielle, de sorte qu’elle puisse être présente dans un sujet de type Maths II comportant du hors programme traitable avec les outils du programme. Nous aborderons sa définition, sa relation avec les autres lois classiques de probabilité du programme de prépa ECG, ses principales propriétés, et nous conclurons par une application pratique en Python pour visualiser sa fonction de densité.
Introduction
La loi d’Erlang est la réponse à un problème bien concret. Son histoire est intimement liée au développement des premières lignes téléphoniques au début du XXe siècle. Le statisticien danois Agner Krarup Erlang a développé cette loi de probabilité pour modéliser le nombre d’appels simultanés, permettant ainsi aux compagnies de télécommunications de dimensionner leurs réseaux de manière plus efficace.
La loi d’Erlang décrit donc le temps d’attente jusqu’à ce qu’un certain nombre d’événements aléatoires se produisent dans un processus continu, où ces événements surviennent à un taux constant. C’est un cas particulier de la loi Gamma, avec un paramètre (dit de forme) entier et, comme nous l’avons dit précédemment, cette loi est également liée à la loi exponentielle en raison de la modélisation du temps d’attente avant la réalisation d’un événement aléatoire.
Définition
La loi d’Erlang est une loi de probabilité à densité qui est caractérisée par deux paramètres :
\(k\) : un entier positif (appelé le paramètre de forme). Il représente le nombre d’événements que l’on attend.
\(\lambda\) : un réel positif (appelé le paramètre d’intensité ou de taux). Il représente le taux moyen de survenue des événements par unité de temps.
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi d’Erlang de paramètres \(k\) et \(\lambda\), notée \(X \sim \mathcal{E}(k, \lambda)\), si sa fonction de densité de probabilité est définie pour \(x > 0\) par :
\[f_X(x) = \frac{\lambda^k x^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda x}\]
Fonction de répartition
La fonction de répartition \(F_X(x)\) d’une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi d’Erlang de paramètres \(k\) et \(\lambda\) représente la probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à \(x\).
\(F_X(x) = P(X \le x) = \int_{0}^{x} f_X(t) dt\)
Pour un entier \(k\) et un réel \(\lambda\), la fonction de répartition s’exprime de manière plus simple en utilisant la somme de probabilités de Poisson.
Pour \(x \ge 0\), on a :
\(F_X(x) = 1 – \sum_{j=0}^{k-1} \frac{e^{-\lambda x}(\lambda x)^j}{j!}\)
Nous ne réaliserons pas ici la démonstration de cette propriété qui n’a pas d’intérêt spécifique dans cet article.
Relation avec d’autres lois de probabilité
L’un des principaux intérêts de la loi d’Erlang réside dans sa connexion avec des lois de probabilité plus classiques enseignées au programme d’ECG, comme la loi exponentielle.
Cas particulier : \(k=1\)
Si le paramètre de forme \(k\) est égal à 1, la formule de la densité de probabilité se simplifie considérablement :
\(f_X(x) = \frac{\lambda^1 x^{1-1}}{(1-1)!}e^{-\lambda x} = \lambda e^{-\lambda x}\)
Cette densité correspond exactement à celle de la loi exponentielle. La loi d’Erlang avec \(k=1\) est donc une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Cela a un sens intuitif : le temps d’attente avant le premier événement (quand \(k=1\)) suit une loi exponentielle.
Somme de variables aléatoires
La propriété la plus importante de la loi d’Erlang est qu’elle modélise le temps d’attente pour que \(k\) événements indépendants se produisent, sachant que le temps entre chaque événement suit une loi exponentielle de même paramètre \(\lambda\).
Si \(X_1, X_2, \dots, X_k\) sont \(k\) variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), alors leur somme \(Y = X_1 + X_2 + \dots + X_k\) suit une loi d’Erlang de paramètres \(k\) et \(\lambda\), c’est-à-dire \(Y \sim \mathcal{E}(k, \lambda)\).
Moments
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(X \sim \mathcal{E}(k, \lambda)\) se calculent à partir de sa densité de probabilité, mais il est beaucoup plus simple d’utiliser la propriété de la somme de variables aléatoires vu dans la partie précédente.
Si \(X_1, X_2, \dots, X_k\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), nous savons que :
\(E(X_i) = \frac{1}{\lambda}\) et \(V(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}\).
Par linéarité de l’espérance et pour la variance (en raison de l’indépendance), nous obtenons :
\(E(X) = \frac{k}{\lambda} \quad \text{et} \quad V(X) = \frac{k}{\lambda^2}\)
Représentation empirique et graphique en Python
Pour visualiser la fonction de densité de probabilité de la loi d’Erlang et la comparer à des données simulées, on peut réaliser un script Python. Le code suivant génère un grand nombre d’échantillons aléatoires suivant une loi d’Erlang et trace leur histogramme (densité empirique) pour le comparer à la courbe théorique.
Ceci est évidemment une proposition de code et il existe de multiples manières de parvenir à un résultat similaire ou équivalent !
Voici quelques précisions sur le code suivant pour expliquer les commandes hors programme utilisées ici.
D’abord, la commande erlang.rvs( a=k, scale=1/lambda_, size = 10000) permet de réaliser un vecteur contenant 10 000 réalisations de la loi d’Erlang de paramètre \(k\) et \(\lambda\).
Conclusion
La loi d’Erlang est un outil essentiel en théorie des files d’attente (en ingénierie et en recherche opérationnelle) et en télécommunications. De tels sujets sont déjà tombés en Maths II (comme le sujet Maths II HEC 2002 ECS). Dans cette perspective, il peut être intéressant pour se préparer de connaître quelques lois de probabilité hors programme qui permettent de modéliser le phénomène des files d’attente. C’est pourquoi connaître la loi d’Erlang pourrait bien être utile pour les écrits comme pour les oraux de type ESCP/HEC.
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