La loi de Fisher-Snedecor est une loi hors programme en prépa ECG. Elle reste pourtant une loi classique qui peut faire l’objet d’une partie intéressante dans un sujet de Parisiennes, du fait de son lien avec les lois Gamma et du khi deux. Cet article vise à te la faire découvrir, en démontrant certains résultats connus qui lui sont liés (espérance, variance…).
La loi de Fisher-Snedecor expliquée en français
Définition de la loi
Pour commencer, la loi de Fisher-Snedecor tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George W. Snedecor.
La loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) a pour but de modéliser le rapport de deux variances issues d’échantillons indépendants. Autrement dit, elle permet de répondre à la question : « Ces deux populations que j’étudie ont-elles la même variance ? »
Exemple intuitif
On a deux classes d’étudiants dont on mesure la taille. On s’intéresse à leur variance (et non à leur moyenne), c’est-à-dire que l’on cherche à évaluer l’écart entre les étudiants composant ces classes. Plus simplement, on cherche à savoir si, par exemple, la taille varie plus dans une classe que dans l’autre.
Définition mathématique de la loi
On dit qu’une variable aléatoire F suit une loi de Fisher-Snedecor à \( n_1 \) et \( n_2 \) degrés de liberté si elle admet pour densité :
\[
f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n_1 + n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}
\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{\frac{n_1}{2}}
\frac{x^{\frac{n_1}{2} – 1}}{\left( 1 + \frac{n_1}{n_2}x \right)^{\frac{n_1 + n_2}{2}}}, \quad x > 0
\]
On écrira alors : \( F \hookrightarrow \mathcal{F}(n_1, n_2) \)
Expression en fonction de lois du khi deux
La variable aléatoire F définie par \( F = \frac{n_2 X_1}{n_1 X_2} \), où \( X_1 \hookrightarrow \chi^2(n_1) \), \( X_2 \hookrightarrow \chi^2(n_2) \) et \( X_1 \perp\!\!\!\perp X_2 \), suit une loi de Fisher-Snedecor.
Quel lien avec la loi Gamma ?
Il existe un lien fort (et HP) entre la loi du khi deux et la loi Gamma qui nous permettra de traiter la loi de Fisher-Snedecor tout en respectant le programme.
Ce lien n’est autre que :
\[
X_1 \hookrightarrow \chi^2(n_1) \Longleftrightarrow \frac{X_1}{2} \hookrightarrow \mathrm{Gamma}\left(\frac{n_1}{2}\right)
\]
Récap du lien entre Fisher et Gamma
On dit qu’une variable aléatoire F suit une loi de Fisher-Snedecor à \( n_1 \) et \( n_2 \) degrés de liberté si :
\[
F = \frac{n_2 X_1}{n_1 X_2}
\]
Où \( \frac{X_1}{2} \hookrightarrow \mathrm{Gamma}\left(\frac{n_1}{2}\right) \), \( \frac{X_2}{2} \hookrightarrow \mathrm{Gamma}\left(\frac{n_2}{2}\right) \) et \( X_1 \perp\!\!\!\perp X_2 \)
Espérance et variance
Espérance
Soit \( F \hookrightarrow \mathcal{F}(n_1, n_2) \), avec \( n_2 > 2 \).
Utilisons l’expression de F en fonction de variables aléatoires suivant des lois Gamma (pour rappel : \( F = \frac{n_2 X_1}{n_1 X_2} \)).
Il s’agit donc de calculer \( \mathbb{E}(F) \) i.e. de calculer \(\mathbb{E}\left( \frac{n_2 X_1}{n_1 X_2} \right)\).
Or, les variables aléatoires \( X_1 \) et \( X_2 \) sont indépendantes. On a donc :
\[
\mathbb{E}(F) = \frac{n_2}{n_1} \, \mathbb{E}(X_1) \, \mathbb{E}\left(\frac{1}{X_2}\right)
\]
Le calcul de l’espérance de F revient donc finalement à calculer l’espérance de \( X_1 \) et de \( \frac{1}{X_2} \).
Espérance de \( X_1 \)
Voici ce que l’on sait : \( \frac{X_1}{2} \hookrightarrow \mathrm{Gamma}\left(\frac{n_1}{2}\right) \). On sait donc que : \( \mathbb{E}\left( \frac{X_1}{2} \right) = \frac{n_1}{2} \).
On a donc que : \( \frac{1}{2} \mathbb{E}(X_1) = \frac{n_1}{2} \),
soit que\[
\fbox{ \( \mathbb{E}(X_1) = n_1 \) }
\]
Espérance de \(\frac{1}{X_2}\)
Cherchons maintenant à calculer \( \mathbb{E}\left( \frac{1}{X_2} \right) \).
Pour commencer, exprimons la densité de \( \frac{X_2}{2} \), à savoir :
\[
f_{\frac{X_2}{2}}(x) = \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} x^{\frac{n_2}{2} – 1} e^{-x} \quad \text{pour } x > 0
\]
Dans notre cas, on cherche la densité de \( X_2 \) et il est alors possible de l’obtenir à partir de celle de \( \frac{X_2}{2} \). En effet :
\[
f_{X_2}(x) = \frac{1}{|2|} f_{\frac{X_2}{2}}\left(\frac{x}{2}\right)
\]
Pour rappel, l’expression générale de cette formule est que :
\[
f_{aX+b}(x) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{x – b}{a}\right), \quad \mathit{pour\ tout\ } a \neq 0
\]
Finalement, on a donc que :
\[
\begin{aligned}
\forall x > 0, \quad f_{X_2}(x)
&= \frac{1}{2} f_{\frac{X_2}{2}}\left(\frac{x}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2} \times \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{n_2}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}} \\
&= \frac{1}{2^{\frac{n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} x^{\frac{n_2}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}}
\end{aligned}
\]
Dès lors, on peut calculer l’espérance de \( X_2 \). En effet, le théorème de transfert nous permet d’écrire que :
\(
\begin{aligned}
\mathbb{E}\!\left(\tfrac{1}{X_2}\right)
&= \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \,\times\, \frac{1}{2^{\,n_2/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}\,x^{\tfrac{n_2}{2}-1} e^{-x/2}\,\mathrm{d}x \\[1ex]
&= \frac{1}{2^{\,n_2/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x^{\tfrac{n_2}{2}-2} e^{-x/2}\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
\)
Pour continuer, il convient alors de procéder à un changement de variable : \( u = \frac{x}{2}, \quad du = \frac{1}{2}\,dx \).
À ce moment là, il faut bien justifier pourquoi ce changement de variable est possible (licite), car nous manipulons des intégrales à bornes infinies où les changements de variables ne sont donc pas tous possibles.
Dans notre cas, la transformation \( u = \frac{x}{2} \) est bijective et continue sur \( [0,+\infty[ \) et l’intégrale transformée est bien absolument convergente. Ce changement de variable est donc bien licite.
Ce changement de variable donne que :
\[
\begin{align*}
E\!\left(\frac{1}{X_2}\right)
&= \frac{1}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} (2u)^{\tfrac{n_2}{2}-2} e^{-u} (2\,du) \\[1em]
&= \frac{2^{\tfrac{n_2}{2}-1}}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} u^{\tfrac{n_2}{2}-2} e^{-u} \, du \\[1em]
&= \frac{1}{2 \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} u^{\tfrac{n_2}{2}-2} e^{-u} \, du \\[1em]
&= \frac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}-1\right)}{2 \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}-1\right)}
u^{\left(\tfrac{n_2}{2}-1\right)-1} e^{-u} \, du
\end{align*}
\]
On reconnaît alors, ici, la densité d’une variable aléatoire suivant une loi Gamma de paramètre \( \frac{n_2}{2} – 1 \). Or, on sait (d’après le cours) que l’intégrale de 0 à +∞ d’une densité d’une loi Gamma vaut 1.
Dès lors, on a que :
\(
\begin{aligned}[t]
E\left(\frac{1}{X_2}\right)
&= \frac{\Gamma\left(\frac{n_2}{2}-1\right)}{2 \, \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \times 1 \\
&= \frac{\left(\left(\frac{n_2}{2}-1\right)-1\right)!}{2 \, \left(\frac{n_2}{2}-1\right)!} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\left(\frac{n_2}{2}-2\right)!}{\left(\frac{n_2}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{n_2}{2}-2\right)!} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{n_2}{2}-1} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n_2 – 2} \\
&= \frac{1}{n_2 – 2}
\end{aligned}
\)
Faisons un récap, on a : \( E(X_1) = n_1 \) et \( E\left(\frac{1}{X_2}\right) = \frac{1}{n_2 – 2} \).
On a donc que :
\(
\begin{aligned}[t]
E(F)
&= \frac{n_2}{n_1} \times E(X_1) \times E\left(\frac{1}{X_2}\right) \\
&= \frac{n_2}{n_1} \times n_1 \times \frac{1}{n_2 – 2}
\end{aligned}
\)
D’où :
\[
\boxed{E(F) = \frac{n_2}{n_2 – 2}}
\]
Variance
Soit \( n_2 > 4 \).
La variance de la variable aléatoire F est : \(
V(F) = \frac{2 n_2^2 (n_1 + n_2 – 2)}{n_1 (n_2 – 2)^2 (n_2 – 4)}
\).
Il s’agit maintenant de le démontrer avec nos outils au programme.
Un des premiers réflexes à avoir lorsqu’on te demande de calculer une espérance est d’utiliser le théorème de König-Huygens, qui stipule que :
\[
\boxed{V(X) = E(X^2) – (E(X))^2}
\]
Appliquons-le ensuite à l’expression de F en fonction de \( X_1 \) et \( X_2 \), ce qui donne : \(
V(F) = E(F^2) – (E(F))^2
= E\Big(\big(\frac{n_2}{n_1} \frac{X_1}{X_2}\big)^2\Big) – \big(E(\frac{n_2}{n_1} \frac{X_1}{X_2})\big)^2
= \frac{n_2^2}{\,n_1^2\,} \, E\Big(\frac{X_1^2}{X_2^2}\Big) – \Big(\frac{n_2}{\,n_2 – 2\,}\Big)^2
\)
Or, comme \( X_1 \) et \( X_2 \) sont indépendantes, \( X_1^2 \) et \( X_2^2 \) le sont aussi en tant que fonctions respectives de variables aléatoires indépendantes.
Dès lors, on peut écrire que : \(
V(F) = \frac{n_2^2}{n_1^2} \, E(X_1^2) \, E\left(\frac{1}{X_2^2}\right) – \left(\frac{n_2}{\,n_2 – 2\,}\right)^2
\)
Première étape : calcul de \( E(X_1^2) \)
Rappel : \( \frac{X_1}{2} \hookrightarrow \mathrm{Gamma}\left(\frac{n_1}{2}\right) \), donc \( V\left(\frac{X_1}{2}\right) = \frac{n_1}{2} \) i.e. \( \frac{1}{4} V(X_1) = \frac{n_1}{2} \) soit \( V(X_1) = 2 n_1 \).
On reprend la formule de König-Huygens qui nous donne que : \( E(X_1^2) = V(X_1) + \big(E(X_1)\big)^2 = 2 n_1 + n_1^2 = n_1 (n_1 + 2) \).
D’où : \( \boxed{E(X_1^2) = n_1 (n_1 + 2)} \).
Deuxième étape : calcul de \( E\!\left(\frac{1}{X_2^2}\right) \)
Pour calculer \( E\!\left(\frac{1}{X_2^2}\right) \), il faut utiliser le théorème de transfert (comme pour le calcul de l’espérance).
En effet,
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left(\frac{1}{X_2^2}\right)
&= \frac{1}{2^{\frac{n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}
\int_0^{+\infty} (2u)^{\frac{n_2}{2} – 3} e^{-u} \cdot 2 \, du \\
&= \frac{2^{\frac{n_2}{2} – 2}}{2^{\frac{n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}
\int_0^{+\infty} u^{\frac{n_2}{2} – 3} e^{-u} \, du \\
&= \frac{1}{4 \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}
\int_0^{+\infty} u^{\frac{n_2}{2} – 3} e^{-u} \, du \\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{n_2}{2} – 2\right)}{4 \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}
\int_0^{+\infty} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n_2}{2} – 2\right)} u^{\left(\frac{n_2}{2} – 2\right) – 1} e^{-u} \, du \\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{n_2}{2} – 2\right)}{4 \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{\left(\frac{n_2}{2} – 3\right)!}{\left(\frac{n_2}{2} – 1\right)!} \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\left(\frac{n_2}{2} – 1\right) \left(\frac{n_2}{2} – 2\right)} \\
&= \frac{1}{(n_2 – 2)(n_2 – 4)}
\end{aligned}
$$
D’où : $$
\boxed{
\mathbb{E}\left(\frac{1}{X_2^2}\right) = \frac{1}{(n_2 – 2)(n_2 – 4)}
}
$$
Calcul final de la variance
Comme \(
V(X) = E(X^2) – (E(X))^2
\), on a donc que :
\begin{align*}
V(F) &= \frac{n_2^2}{n_1^2}\, n_1 (n_1+2)\, \frac{1}{(n_2-2)(n_2-4)}
– \left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)^2 \\[6pt]
&= \left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)^2
\left(\frac{n_1(n_1+2)(n_2-2)}{n_1^2(n_2-4)} – 1\right) \\[6pt]
&= \left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)^2
\frac{(n_1+2)(n_2-2) – n_1(n_2-4)}{n_1(n_2-4)} \\[6pt]
&= \left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)^2
\frac{n_1 n_2 – 2n_1 + 2n_2 – 4 – n_1 n_2 + 4n_1}{n_1(n_2-4)} \\[6pt]
&= \left(\frac{n_2}{n_2-2}\right)^2
\frac{2n_1 + 2n_2 – 4}{n_1(n_2-4)}.
\end{align*}
\)
On a donc bien montré que :
$$
\boxed{
V(F) = \frac{2 n_2^2 (n_1 + n_2 – 2)}{n_1 (n_2 – 2)^2 (n_2 – 4)}
}
$$
Approfondissement : moments d’ordre r
Il arrive souvent, lorsqu’on traite d’une loi particulière, comme la loi de Fisher-Snedecor, qu’on te demande de calculer ses moments d’ordre r. C’est ce que nous allons donc faire.
Tout d’abord, on peut écrire que : \( E(F^r) = E\!\left(\left(\tfrac{n_2 X_1}{n_1 X_2}\right)^r\right)
= \tfrac{n_2^r}{n_1^r}\, E(X_1^r)\, E\!\left(\tfrac{1}{X_2^r}\right) \).
Maintenant, il faut donc se débrouiller pour calculer les deux termes de cette égalité.
Petite particularité à noter et à bien prendre en compte : les moments d’ordre r de F existent si et seulement si \( r < \tfrac{n_2}{2} \). Cela est dû au fait que, dans le résultat final, on exprimera les moments d’ordre r par des fonctions Gamma dont l’argument doit être strictement positif.
Calcul de \( \mathbb{E}(X_1^r) \)
Le théorème de transfert nous donne que :
\[
\begin{align}
E(X_1^r) &= \int_{0}^{+\infty} x^r f_{X_1}(x) \, dx \\[6pt]
&= \int_{0}^{+\infty} x^r \, \frac{1}{2^{\tfrac{n_1}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\, x^{\tfrac{n_1}{2}-1} e^{-x/2} \, dx \\[6pt]
&= \frac{1}{2^{\tfrac{n_1}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} x^{r + \tfrac{n_1}{2}-1} e^{-x/2} \, dx
\end{align}
\]
Procédons au même changement de variable, à savoir \( u = \tfrac{x}{2}, \; du = \tfrac{1}{2} dx \), qui nous donne :
\[
\begin{align}
E(X_1^r) &= \frac{1}{2^{\tfrac{n_1}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} (2u)^{\,r + \tfrac{n_1}{2} – 1} e^{-u} \,(2\,du) \\[8pt]
&= \frac{2^{\,r + \tfrac{n_1}{2}}}{2^{\tfrac{n_1}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} u^{\,r + \tfrac{n_1}{2} – 1} e^{-u} \, du \\[8pt]
&= \frac{2^r \, \Gamma\!\left(r + \tfrac{n_1}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\Gamma\!\left(r + \tfrac{n_1}{2}\right)}
u^{\left(r + \tfrac{n_1}{2}\right) – 1} e^{-u} \, du
\end{align}
\]
Or, \( \frac{1}{\Gamma\!\left(r+\tfrac{n_1}{2}\right)} \,
u^{\,r+\tfrac{n_1}{2}-1} e^{-u} \) est une densité d’une variable aléatoire suivant une loi Gamma de paramètre \( r + \tfrac{n_1}{2} \). Donc, l’intégrale de 0 à +∞ de cette densité vaut 1.
On a donc montré que :
\[
\boxed{
E(X_1^r) = 2^r \times \frac{\Gamma\left(\tfrac{n_1}{2} + r\right)}{\Gamma\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
}
\]
Calcul de \( \mathbb{E}\!\left(\tfrac{1}{X_2^r}\right) \)
Encore une fois, le théorème de transfert nous donne que :
\[
\begin{align}
E\!\left(\tfrac{1}{X_2^r}\right)
&= \int_{0}^{+\infty} \tfrac{1}{x^r} \, f_{X_2}(x) \, dx \\[8pt]
&= \int_{0}^{+\infty} \tfrac{1}{x^r} \, \frac{1}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\, x^{\tfrac{n_2}{2}-1} e^{-x/2} \, dx \\[8pt]
&= \frac{1}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} x^{\tfrac{n_2}{2} – r – 1} e^{-x/2} \, dx
\end{align}
\]
Procédons, de nouveau, au même changement d’indice \( u = \tfrac{x}{2}, \; du = \tfrac{1}{2} dx \) qui nous permet d’écrire que :
\[
\begin{align}
E\!\left(\tfrac{1}{X_2^r}\right)
&= \frac{1}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} (2u)^{\,\tfrac{n_2}{2} – r – 1} e^{-u} \,(2\,du) \\[8pt]
&= \frac{2^{\,\tfrac{n_2}{2}-r}}{2^{\tfrac{n_2}{2}} \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} u^{\,\tfrac{n_2}{2} – r – 1} e^{-u} \, du \\[8pt]
&= \frac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right)}{2^r \, \Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right)}
\, u^{\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right) – 1} e^{-u} \, du
\end{align}
\]
Or, \( \dfrac{1}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}-r\right)}\, u^{\left(\tfrac{n_2}{2}-r\right)-1} e^{-u} \) est une densité d’une variable aléatoire suivant une loi Gamma de paramètre \( \tfrac{n_2}{2} – r \). Donc, son intégrale de 0 à +∞ vaut 1.
D’où :
\[
\boxed{\,E\!\left(\tfrac{1}{X_2^r}\right)
= \frac{1}{2^r} \times \frac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)}\,}
\]
Résultat final
In fine, on a que : \( E(F^r) = \tfrac{n_2^r}{n_1^r} \times
\left( 2^r \times \tfrac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2} + r\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)} \right)
\times \left( \tfrac{1}{2^r} \times \tfrac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)} \right) \)
Pour finir, on a donc que :
\[
\boxed{\,E(F^r) = \tfrac{n_2^r}{n_1^r} \times
\tfrac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2} + r\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_1}{2}\right)}
\times \tfrac{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2} – r\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n_2}{2}\right)} \,}
\]
Courbe représentative
La courbe représentative de la densité de probabilité d’une loi de Fisher-Snedecor varie en fonction de ses deux paramètres \( n_1 \) et \( n_2 \).
Prenons pour exemple une variable aléatoire X suivant une loi de Fisher-Snedecor de paramètres \( n_1 = 5 \) et \( n_2 = 10 \). La courbe représentative de la densité de cette variable n’est autre que :
Conclusion
La loi de Fisher-Snedecor constitue une loi très intéressante de par le lien qu’elle crée avec les lois du khi deux et Gamma. Cet article est aussi là pour te faire comprendre l’importance de bien maîtriser les lois Gamma, notamment en mathématiques approfondies où elles sont au programme.
Pour l’instant, aucun sujet de Parisiennes n’a traité de cette loi, mais cela ne saurait tarder, comme le montre la volonté de HEC de faire découvrir certaines notions HP dans ses Maths II. L’année dernière, c’était la loi du khi deux, et pourquoi pas cette année la loi Fisher-Snedecor ?
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