Tu as certainement déjà entendu parler du principe des 80-20, ou principe de Pareto, issu des travaux de l’économiste italien Vilfredo Pareto, qui dit que 80 % des effets sont le produit de seulement 20 % des causes. À la fin du XIXe siècle, ce dernier observe une certaine régularité dans la manière dont la richesse d’un pays est distribuée. La loi de Pareto offre ainsi une base théorique au principe des 80-20. Cette loi est aussi un grand classique de prépa ECG, très appréciée des concepteurs d’épreuve. Elle mobilise des notions clés du programme et permet d’illustrer les lois à queue lourde. Dans cet article, je vais te donner la définition mathématique, les résultats classiques (espérance et variance sous réserve d’existence), des applications concrètes de cette loi et des annales (nombreuses) faisant intervenir la loi de Pareto pour que tu puisses t’entraîner !
Caractérisation de la loi de Pareto
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto de paramètres \( (a, b) \in \mathrm{R}_+^* \times \mathrm{R}_+^*\).
La loi est caractérisée par : \[ \mathbb{P}(X>x) = \left(\frac{a}{x}\right)^b \]
Densité de la loi de Pareto
Il suit de cette caractérisation qu’une densité \(f\) de X suivant une loi de Pareto de paramètres \( (a, b)\) est donnée par : \[
f(x) =
\begin{cases}
a \cdot \frac{b^{a}}{x^{a+1}} & \text{si } x \ge b \\
0 & \text{si } x < b
\end{cases}
\]
Espérance
C’est ici que tu dois être particulièrement vigilant(e). Comme tu le sais, une variable aléatoire à densité n’admet pas toujours une espérance.
Dans le cas de la loi de Pareto, on distingue deux cas :
- Si \( a \le 1 \), X n’admet pas d’espérance. Démontrer ce résultat est assez classique et nécessite de traiter la convergence absolue de l’intégrale qui définit l’espérance. Cette question comporte des pièges à éviter (comme dire que X admet toujours une espérance). De manière générale, il est fréquent de disjoindre les cas lorsque tu traites une question portant sur une espérance.
- Si \( a > 1 \), X admet une espérance et : \(
\mathbb{E}(X) = \frac{ab}{a-1} \)
Variance
Après l’espérance, il est naturel de se demander si la variance existe. Et là encore, il faut être vigilant : la loi de Pareto est une loi à queue lourde, et certaines intégrales peuvent diverger. En particulier, on doit vérifier si l’intégrale qui définit \( \mathbb{E}(X^2) \) converge.
Là encore, on distingue deux cas :
- Si \( a \le 2 \) : la variance n’existe pas (elle est infinie).
- Si \( a > 2 \) : la variance existe et on peut la calculer.
Détaillons ensemble le calcul de la variance. C’est l’occasion de faire un petit rappel sur l’utilisation du critère de convergence de Riemann.
On a que : \[
\mathbb{E}(X^2) = \int_b^{+\infty} x^2 \cdot f(x)\, dx
= \int_b^{+\infty} x^2 \cdot \frac{ab^a}{x^{a+1}} \, dx
\]
La question est donc de savoir quand l’intégrale impropre \(
\int_b^{+\infty} \frac{1}{x^{a-1}} \, dx \) converge.
Le critère de Riemann nous dit : \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\, dx \) converge si et seulement si \( p > 1 \), ce qui ici donne \(a > 2\).
On a donc :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_b^{+\infty} x^2 \cdot \frac{ab^a}{x^{a+1}} \, dx \]
\[ = ab^a \int_b^{+\infty} \frac{1}{x^{a-1}} \, dx \]
\[ = \frac{ab^2}{a-2} \quad \text{si } a > 2 \]
Enfin :
\[
\mathrm{V}(X) =
\begin{cases}
+\infty & \text{si } a \leq 2 \\[6pt]
\frac{ab^2}{(a-1)^2(a-2)} & \text{si } a > 2
\end{cases}
\]
Application concrète : la loi de Pareto en gestion des risques d’assurance
Pour démystifier cette loi une bonne fois pour toutes, laisse-moi te présenter une de ses applications concrètes. En assurance, on cherche à évaluer le montant moyen des sinistres pour fixer les primes et prévoir la solvabilité de l’entreprise. Or, les pertes extrêmes (incendies majeurs, catastrophes naturelles, accidents industriels) ne suivent pas une loi normale : elles sont rares, mais lourdes de conséquence. C’est là qu’intervient la loi de Pareto.
Étape 1 : modéliser le sinistre
On suppose que les montants des sinistres supérieurs à un certain seuil \(b\) suivent une loi de Pareto de paramètres \((a,b)\). Le paramètre \(a\) reflète la « lourdeur de la queue » : plus \(a\) est petit, plus les sinistres extrêmes sont probables.
Étape 2 : utiliser l’espérance pour estimer le coût moyen
- Si \(a > 1\), l’espérance est : \[ \mathrm{E}(X) = \frac{ab}{a-1}. \]
Elle donne une estimation du coût moyen attendu d’un sinistre extrême, que l’assureur doit provisionner.
- Si \(a \le 1\), l’espérance est infinie. Cela signifie que le modèle prévoit des pertes potentiellement illimitées qui présentent un risque énorme pour l’assureur.
Étape 3 : décider de la stratégie
- Si \(a > 2\), même la variance est finie, ce qui signifie que le risque est relativement stable et peut être mutualisé.
- Si \( 1 < a \le 2 \), l’espérance est finie, mais la variance est infinie. Les pertes sont très volatiles, ce qui nécessite des réserves importantes du côté de l’assureur.
- Si \(a \le 1\), le risque dépasse potentiellement les réserves financières et nécessite un rééquilibrage, sans quoi l’assureur ne peut garantir la couverture du risque ou devra faire appel à un réassureur.
J’espère que cette mise en pratique de la loi de Pareto t’a permis de cerner un peu mieux ses enjeux mathématiques sous-jacents. Et maintenant, penchons-nous sur un exemple de sujet la faisant intervenir.
Exemple de sujet avec la loi de Pareto : EDHEC 2023 (voie E)
J’en profite pour te rappeler qu’un méga-répertoire d’annales est disponible sur notre site. Il te permet de t’entraîner sur des thématiques récurrentes en voyant les différents sujets où celles-ci ont pu tomber, ou alors tout simplement de t’entraîner sur un maximum de sujets pour être prêt(e) le jour J.
Dans le sujet que j’ai choisi de te montrer, on retrouve de grands classiques : montrer qu’une fonction \(f\) donnée peut servir de densité de probabilité, trouver la fonction de répartition, etc.
Une fois encore, le rapport de jury rappelle combien il est important de maîtriser le critère de Riemann, pour lequel toute approche hasardeuse est lourdement sanctionnée. D’ailleurs, je te conseille de lire le rapport de jury, très instructif par rapport aux attendus de l’épreuve.
Voici une liste non exhaustive des sujets où tu peux retrouver la loi de Pareto pour t’entraîner :
Pour les maths appliquées :
- EDHEC 2019 et EDHEC 2023
- emlyon 2020
- ESSEC 2007 et ESSEC 2011
Pour les maths approfondies :
- ECRICOME 2015
- EDHEC 2023
- emlyon 2016
- HEC Maths II 1995
