La loi sécante hyperbolique est une loi de probabilité continue qui permet de fournir une approximation efficace de la loi normale. C’est une loi hors programme, mais celle-ci peut être abordée avec les outils du programme, ce qui en fait une très bonne candidate pour un sujet de type Maths II ou encore un sujet d’oral type ESCP ou HEC. Étudions ainsi la définition de cette loi en effectuant quelques développements préliminaires sur la fonction sécante hyperbolique, avant d’étudier les propriétés de cette loi de probabilité. Enfin, nous étudierons plus brièvement les manières de simuler cette loi en Python.
Définition
Note : pour toute la suite de cet article, \(X\) désignera une variable aléatoire suivant la loi sécante hyperbolique que nous allons dès à présent définir.
La loi sécante hyperbolique est une loi de probabilité continue définie sur \(\mathbb{R}\). Une densité de probabilité de \(X\) est alors donnée par :
\[
f(x) = \frac{1}{2} \text{sech} \left( \frac{\pi}{2} x \right), \quad x \in \mathbb{R}
\]
Jusque-là, pas de panique, il est normal que tu ne connaisses pas du tout la fonction ici notée \(sech\). Celle-ci désigne en effet la fonction sécante hyperbolique définie comme :
\[
\text{sech}(x) = \frac{2}{e^x + e^{-x}}.
\]
Cette fonction est vraiment hors programme et, de ce fait, vraiment très rarement abordée dans les sujets. Cependant, elle est tout de même liée à certaines autres fonctions hors programme, mais plus souvent abordées en exercice (comme le cosinus hyperbolique).
Voici très rapidement quelques propriétés non exhaustives de cette fonction que tu pourras t’amuser à ta guise à redémontrer.
Par symétrie : \(\forall x \in \mathbb{R}, \text{sech}(-x) = \text{sech}(x)\) (la démonstration est vraiment directe par calcul simple de \( \text{sech}(-x)\)).
On a également : \( \forall x \in \mathbb{R}, 0 < \text{sech}(x) \leq 1\), avec \(\text{sech}(0) = 1\) (il convient ici d’étudier la fonction sécante hyperbolique par dérivation de celle-ci par exemple).
Lien avec le cosinus hyperbolique : \( \text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} \). Concernant le cosinus hyperbolique, il convient de noter que cette fonction est hors programme, mais est tout de même étudiée dans certains sujets relativement abordables. Voici un sujet qui traite de cette fonction.
Revenons dès à présent à notre loi de probabilité !
Fonction de répartition
Avant-propos : cette fonction de répartition est donnée à titre indicatif. En effet, elle fait intervenir une primitive complètement hors programme ainsi que la fonction tangente hyperbolique qui l’est tout autant.
La fonction de répartition \( F(x) \) est donnée par :
\[
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} \text{sech} \left( \frac{\pi}{2} t \right) dt.
\]
On utilise la primitive de \(\text{sech}(x)\) qui est, pour rappel, hors programme et qu’il ne convient pas de retenir :
\[
\int \text{sech}(x) dx = \arctan(\tanh(x)).
\]
On en déduit avec un changement de variable intégrale \(u= \frac{\pi}{2}x\) que :
\[
F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan \left( \tanh \left( \frac{\pi}{2} x \right) \right) + \frac{1}{2}.
\]
Vérification de la fonction de répartition de \(X\) : De ce côté, la démonstration est plus abordable pour un élève de deuxième année de prépa ECG.
On vérifie que la densité est correcte en dérivant \( F(x) \) (il convient ici de se rappeler la dérivée de l’arc tangente) :
\[
F'(x) = \frac{1}{\pi} \times \frac{1}{1 + \tanh^2(\frac{\pi}{2} x)} \times \frac{\pi}{2} \text{sech}^2(\frac{\pi}{2} x).
\]
Or, \( 1 + \tanh^2(x) = \text{sech}^{-2}(x) \) (relation encore hors programme que tu pourras aisément vérifier en trouvant la définition de la fonction tangente hyperbolique), donc :
\[
F'(x) = \frac{1}{\pi} \times \frac{\pi}{2} \text{sech}^2(\frac{\pi}{2} x) = \frac{1}{2} \text{sech} \left( \frac{\pi}{2} x \right) = f(x).
\]
Ce qui confirme que \( f(x) \) est bien la densité de probabilité de \(X\).
Propriétés
Espérance
Pour rappel, l’espérance mathématique est donnée par :
\[
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx.
\]
Étant donné que \( f(x) \) est symétrique et que \( x f(x) \) est impair, on obtient :
\[
\mathbb{E}[X] = 0.
\]
Ceci est en effet un résultat classique d’intégration d’une fonction continue impaire entre des bornes symétriques. Tu peux d’ailleurs d’ores et déjà remarquer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi sécante hyperbolique est la même que pour une loi normale centrée réduite (voir graphique en fin de partie).
Variance
Puisque \(X\) est centrée (c’est-à-dire d’espérance nulle), la formule de Koenig-Huygens assure que la variance est donnée par :
\[
\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx = 1
\]
Voici une rapide démonstration que tu n’es pas obligé(e) de retenir.
Avec la substitution licite \( u = \frac{\pi}{2} x \), on montre que :
\[
\mathbb{E}[X^2] = \frac{4}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty} u^2 \text{sech}(u) du.
\]
Maintenant, nous devons mobiliser un résultat de calcul intégral classique qui ne peut être rapidement démontré avec les outils du programme (on peut le démontrer par méthode d’intégration complexe) :
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \text{sech}(x) dx = \frac{\pi^2}{4}.
\]
Donc :
\[
\text{Var}(X) = \frac{4}{\pi^2} \times \frac{\pi^2}{4} = 1.
\]
Lien avec la loi normale
Nous l’avons déjà mentionné rapidement précédemment, l’utilité de cette loi est notamment de faciliter les calculs des probabilités, car celle-ci permet d’approximer de manière très satisfaisante la loi normale. Tu auras déjà pu remarquer que les deux lois possèdent la même espérance et la même variance.
Voici un graphique des deux densités de probabilités pour que tu te rendes effectivement compte du lien entre les deux :
Simulation en Python
L’idée est ici de coder la réalisation empirique d’un grand nombre de variables aléatoires (indépendantes évidemment) suivant la loi sécante hyperbolique et de la comparer avec la densité théorique.
Je te laisse essayer de trouver un script convenable avant de poursuivre la lecture de cet article !
À l’évidence, il n’est pas nécessaire d’avoir réalisé le même code pour que ce dernier permette d’obtenir un graphique sensiblement équivalent à celui que tu peux voir plus bas, donc pas de panique si tu n’as pas le même script.
Par exemple, on aurait pu utiliser la méthode d’inversion pour obtenir le graphique souhaité. Aussi, voici une rapide précision sur la fonction np.random.seed(0) qui est très rarement abordée en classe : celle-ci permet de figer les valeurs « random » que l’on obtiendra à chaque exécution du script afin de toujours obtenir le même output.
Voici une proposition de graphique retourné par ce code Python :
Conclusion
Ainsi, la loi sécante hyperbolique est effectivement une loi hors programme, mais qui peut s’étudier avec les outils dont dispose un élève de deuxième année bien entraîné. Malheureusement, aucun sujet d’écrit ou d’oral n’est tombé sur l’étude de cette loi, donc il existe peu de ressources pour t’entraîner avec cette loi.
Cependant, il est toujours possible de t’entraîner sur les notions de fonctions hyperboliques qui apparaissent dans certains sujets.
Tu peux retrouver ici le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder ici à toutes nos autres ressources mathématiques !
