La loi de Slash est une loi de probabilité hors programme qui fait le lien entre la loi normale et la loi uniforme. En ce sens, elle reste proche du programme et pourrait aisément être abordée dans un intitulé de type Maths II ou encore dans un exercice de type EMlyon ou EDHEC difficile. Il peut ainsi être intéressant de te familiariser avec cet article. Étudions donc sa définition, ses propriétés, et abordons un peu de Python pour voir rapidement comment la simuler. Nous en profiterons pour étudier sa représentation graphique.
Définition
La loi de Slash est définie comme le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et une variable suivant une loi uniforme sur l’intervalle \([0, 1]\) :
\[
S = \frac{Z}{U}
\]
où :
\( Z \sim \mathcal{N}(0,1) \),
\( U \sim \mathcal{U}[0,1] \),
\( Z \) et \( U \) sont indépendantes (attention à cette condition qu’il conviendra toujours de vérifier, car on peut avoir tendance à l’oublier)
On dit alors que \( S \) suit une loi de Slash.
Densité de probabilité
La densité \( f \) de la loi de Slash s’écrit pour tout réel \( x \neq 0 \)
Sa fonction de densité est donnée par :
\[
f(x) = \frac{\varphi(0) – \varphi(x)}{x^2}
\]
\[
f(x) = \frac{1 – e^{-x^2/2}}{x^2 \sqrt{2\pi}}
\]
et
\[
f(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.
\]
Où \(\varphi\) est la fonction de densité d’une loi normale centrée réduite. Elle n’est pas définie pour \(x = 0\), mais cette valeur interdite est remplacée par :
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{\varphi'(0)}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}
\]
Nous ne ferons pas ici la démonstration de cette limite. Tu peux donc t’amuser à redémontrer très rapidement ce résultat qui fait appel à un raisonnement autour des équivalences en \(0\) (chapitre sur les limites vu en première année).
Comment arriver à une telle expression de la densité de la loi de Slash ?
En effet, la question peut se poser, puisque l’expression de la densité semble totalement négliger le fait que la loi dépend d’une loi uniforme. Le calcul d’une densité de probabilité à partir du quotient de deux lois dont la densité et la fonction de répartition sont complètement connues est possible grâce à une petite astuce.
Il convient en fait de calculer la loi de \(ln(S) = ln(\frac{Z}{U}) = ln(Z) – ln(U)\) à partir de la formule du produit de convolution. Voici donc comment procéder par étapes : on calcule la loi de \(ln(Z)\), puis de \(-ln(U)\), puis on calcule la loi de \(ln(S)\) pour en déduire celle de \(S\) par une transformation exponentielle. C’est long, mais cette formule tombe régulièrement dans les sujets de Parisiennes et est très rémunératrice en points.
Propriétés
Fonction de répartition
Soient \( Z \sim \mathcal{N}(0,1) \) et \( U \sim \mathcal{U}[0,1] \), deux variables indépendantes. On considère la variable aléatoire : la fonction de répartition de \( S \), notée \( F_S(x) \), est donnée par :
\[
F_S(x) = \mathbb{P}\left( \frac{Z}{U} \le x \right) = \mathbb{P}(Z \le x U).
\]
Par indépendance de \( Z \) et \( U \) et comme la densité de la loi uniforme est nulle en dehors de l’intervalle \[[0,1]\]
on a :
\[
F_S(x) = \int_0^1 \mathbb{P}(Z \le x u) \cdot f_U(u)\, du.
\]
Comme \( U \sim \mathcal{U}[0,1] \), sa densité est \( f_U(u) = 1 \) sur \([0,1]\), donc :
\[
F_S(x) = \int_0^1 \Phi(x u)\, du,
\]
où \( \Phi \) désigne la fonction de répartition de la loi normale standard.
Moments
Espérance
On peut écrire à l’aide de la formule de l’espérance conditionnelle que, sous réserve d’existence d’une telle espérance :
\[
\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}\left[ \frac{Z}{U} \right] = \int_0^1 \mathbb{E}\left[ \left. \frac{Z}{u} \right| U = u \right] f_U(u)\, du.
\]
Notons qu’on restreint l’intégrale à \([0,1]\) car \(f_U(u)\) est nulle en dehors de cet intervalle.
Or :
\[
\mathbb{E}\left[ \left. \frac{Z}{u} \right| U = u \right] = \frac{1}{u} \cdot \mathbb{E}[Z] = \frac{1}{u} \cdot 0 = 0.
\]
Donc :
\[
\mathbb{E}[S] = \int_0^1 0 \cdot f_U(u)\, du = 0.
\]
L’espérance de la loi de Slash est nulle, en raison de la symétrie de la loi normale centrée autour de zéro.
Variance
La variance de \( S \) est donnée par (sous réserve d’existence) :
\[
\mathrm{Var}(S) = \mathbb{E}[S^2] – \left( \mathbb{E}[S]\right)^2.
\]
(formule de Koenig-Huygens)
Pour rappel, \( \mathbb{E}[S] = 0 \), donc :
\[
\mathrm{Var}(S) = \mathbb{E}[S^2] = \mathbb{E}\left[\left( \frac{Z}{U} \right)^2 \right].
\]
Comme \( Z \) et \( U \) sont indépendants, on peut écrire sous réserve d’existence :
\[
\mathbb{E}\left[\left( \frac{Z}{U} \right)^2 \right] = \mathbb{E}[Z^2] \cdot \mathbb{E}\left[ \frac{1}{U^2} \right].
\]
Or :
\[
\mathbb{E}[Z^2] = \mathrm{Var}(Z) = 1,
\]
et :
\[
\mathbb{E}\left[ \frac{1}{U^2} \right] = \int_0^1 \frac{1}{u^2} \, du = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{u^2} \, du = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ -\frac{1}{u} \right]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -1 + \frac{1}{\varepsilon} \right) = +\infty.
\]
Donc, la loi de Slash n’admet pas de variance.
On vérifiera aisément avec la même démonstration qu’une variable aléatoire suivant la loi de Slash n’admet pas de moments supérieurs.
Python et graphique
Pour générer une variable aléatoire suivant la loi de Slash, il suffit de simuler deux variables indépendantes : une normale centrée réduite et une uniforme sur [0, 1], puis de les diviser et d’afficher beaucoup de réalisations de cette loi (par exemple : 10000, ici).
À l’évidence, les lignes de code proposées plus haut ne sont qu’une proposition de corrigé et il est possible d’arriver à un résultat semblable par des développements différents.
Pour rappel, l’instruction « np.random.normal(0,1,n) (resp. np.random.uniform (0,1,n)) » crée un vecteur de n réalisations d’une loi normale centrée réduite (resp loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\)).
On obtient alors un graphique dans le style suivant :
On peut donc effectivement constater le résultat que nous avons démontré quant à l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi de Slash.
Une allure de loi normale centrée réduite ?
Jusqu’à présent, la courbe de la densité semble être symétrique autour de 0 et cela peut nous donner envie de conclure que la courbe de la densité de la loi de Slash est semblable à celle de la loi normale centrée réduite. Ce serait une erreur de conclure de la sorte et voilà pourquoi.
Voici le graphique des deux densités que nous allons analyser :
Les espérances sont les mêmes, nous l’avons vu, et les deux densités sont symétriques pour le point d’abscisse \(x=0\). L’analyse de leur kurtosis respectif (c’est-à-dire du coefficient d’aplatissement) des deux lois peut être intéressante.
La loi normale admet un kurtosis de 3, tandis que la loi de Slash n’admet pas de kurtosis fini (\(+\infty\)). Cela se vérifie graphiquement, puisque la loi normale est plus concentrée autour de \(0\) et la loi de slash prend davantage des valeurs extrêmes.
Conclusion
En définitive, la loi de Slash est une loi empirique fondamentale dont l’étude pourrait faire l’objet d’une partie de sujet de concours. Comme cette notion n’est encore jamais tombée au concours, cela en ferait une excellente candidate pour une partie de sujet type Maths II, EMLyon ou EDHEC. D’autant plus que ces sujets abordent relativement souvent les lois classiques (comme la loi normale centrée réduite ou la loi uniforme). Voilà, il n’y a désormais plus qu’à espérer qu’un tel sujet tombe au concours cette année !
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