La matrice de Gram apparaît régulièrement dans les sujets de concours, parfois de manière explicite (comme dans les épreuves ESCP ou HEC), parfois de manière implicite lorsqu’un problème demande de manipuler des produits scalaires organisés sous forme matricielle. Maîtriser ses propriétés constitue donc un atout important. Cet article présente la définition de la matrice de Gram, établit ses propriétés fondamentales (symétrie, positivité du spectre, lien avec la liberté), puis détaille son utilisation pour le calcul du projeté orthogonal.
Définition
Soit \( (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) \) un espace euclidien de dimension \( N \), et soit \( (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) une famille de \( n \) vecteurs de \( E \), avec \( n \leq N \).
La matrice de Gram de cette famille est la matrice \( G \in M_n(\mathbb{R}) \) dont le coefficient situé à la \( i \)-ème ligne et à la \( j \)-ème colonne est le produit scalaire \( \langle u_i, u_j \rangle \).
Autrement dit, on pose \( g_{i,j} = \langle u_i, u_j \rangle \) et la matrice de Gram est \( G = (g_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \).
En particulier, les coefficients diagonaux de \( G \) sont les carrés des normes des vecteurs : \( g_{i,i} = \langle u_i, u_i \rangle = |u_i|^2 \).
Expression matricielle
La matrice de Gram admet une expression matricielle particulièrement utile. Soit \( B = (e_1, \ldots, e_N) \) une base orthonormée de \( E \). Pour chaque vecteur \( u_j \), on note \( C_j \in M_{N,1}(\mathbb{R}) \) la matrice colonne de ses coordonnées dans \( B \). On définit alors la matrice \( P \in M_{N,n}(\mathbb{R}) \) dont la \( j \)-ème colonne est \( C_j \).
Puisque \( B \) est orthonormée, le produit scalaire s’exprime sous la forme \( \langle u_i, u_j \rangle = {}^t C_i C_j \). On en déduit immédiatement que :
\[ G = {}^t P P. \]
Cette factorisation est fondamentale. Elle montre d’emblée que \( G \) est symétrique, puisque \( {}^t G = {}^t({}^tP P) = {}^t P P = G \). Mais elle permet surtout d’établir les propriétés spectrales de \( G \), comme nous allons le voir.
Positivité du spectre
Montrons que toute valeur propre de \( G \) est positive ou nulle. Soit \( \lambda \) une valeur propre de \( G \) et \( X \in M_{n,1}(\mathbb{R}) \) un vecteur propre associé, de sorte que \( GX = \lambda X \) avec \( X \neq 0 \).
En multipliant à gauche par \( {}^tX \), on obtient :
\[ {}^tX G X = \lambda {}^tX X. \]
Or, \( {}^tX X = |X|^2 > 0 \) puisque \( X \neq 0 \). Par ailleurs, en utilisant la factorisation \( G = {}^tP P \), on a :
\[ {}^tX G X = {}^tX {}^tP P X = {}^t(PX) (PX) = |PX|^2 \geq 0. \]
On en déduit \( \displaystyle \lambda = \frac{|PX|^2}{|X|^2} \geq 0 \). Toute valeur propre de \( G \) est donc positive ou nulle.
De plus, on a l’encadrement suivant : si \( \lambda \) est une valeur propre de \( G \), alors \( \displaystyle 0 \leq \lambda \leq \sum_{i=1}^{n} |u_i|^2 \). En effet, \( \displaystyle \mathrm{Tr}(G) = \sum_{i=1}^{n} |u_i|^2 \), et comme toutes les valeurs propres sont positives, chacune est majorée par leur somme, qui est la trace.
Lien avec la liberté de la famille
Le résultat le plus important concernant la matrice de Gram est le suivant : la matrice \( G \) est inversible si et seulement si la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \) est libre.
Démontrons ce résultat en utilisant la factorisation \( G = {}^tP P \).
Supposons d’abord que la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \) est liée. Il existe alors des scalaires \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) non tous nuls tels que \( \alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_n u_n = 0 \). En notant \( X = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^t \), cela signifie que \( PX = 0 \), donc \( GX = {}^tP PX = 0 \). Le vecteur \( X \) est non nul et appartient au noyau de \( G \), ce qui prouve que \( G \) n’est pas inversible.
Réciproquement, supposons que \( G \) n’est pas inversible. Alors il existe \( X \neq 0 \) tel que \( GX = 0 \), c’est-à-dire \( {}^tP PX = 0 \). En multipliant à gauche par \( {}^tX \), on obtient \( |PX|^2 = 0 \), donc \( PX = 0 \). Or \( PX \) est la colonne des coordonnées du vecteur \( \alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_n u_n \) dans la base orthonormée \( B \), avec \( (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \) non tous nuls. La famille est donc liée.
En résumé, \( G \) est inversible si et seulement si la famille est libre, et dans ce cas, toutes les valeurs propres de \( G \) sont strictement positives. On peut aussi formuler ce résultat en termes de rang : \( \mathrm{rg}(G) = \mathrm{rg}(P) \), ce qui correspond au rang de la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \).
Application au projeté orthogonal
L’une des applications les plus puissantes de la matrice de Gram concerne le calcul du projeté orthogonal. Supposons que la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \) est libre, et notons \( F = \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_n) \). Soit \( x \in E \). Le projeté orthogonal \( p(x) \) de \( x \) sur \( F \) est l’unique vecteur de \( F \) tel que \( x – p(x) \in F^{\perp} \).
Puisque \( p(x) \in F \), il s’écrit \( p(x) = \alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_n u_n \) pour certains scalaires \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \). La condition \( x – p(x) \perp u_k \) pour tout \( k \in [![1, n]!] \) se traduit par :
\[ \langle x – p(x), u_k \rangle = 0, \]
soit \( \langle x, u_k \rangle = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \langle u_i, u_k \rangle \). En posant \( \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^t \) et \( W = (\langle u_1, x \rangle, \ldots, \langle u_n, x \rangle)^t \), ce système s’écrit :
\[ G \alpha = W. \]
Comme la famille est libre, \( G \) est inversible et le système admet une unique solution :
\[ \alpha = G^{-1} W. \]
Les coordonnées du projeté orthogonal dans la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \) sont donc données par l’inverse de la matrice de Gram appliquée au vecteur des produits scalaires \( \langle u_i, x \rangle \). Ce résultat est extrêmement utile en pratique, car il évite de devoir orthonormaliser la famille au préalable par le procédé de Gram-Schmidt.
Cas particulier : famille orthonormée
Lorsque la famille \( (u_1, \ldots, u_n) \) est orthonormée, la matrice de Gram est simplement la matrice identité \( I_n \), puisque \( \langle u_i, u_j \rangle = \delta_{i,j} \).
La formule du projeté se simplifie alors en \( \alpha = W \), c’est-à-dire \( \alpha_k = \langle u_k, x \rangle \) pour tout \( k \). On retrouve la formule classique du projeté orthogonal sur un sous-espace engendré par une base orthonormée :
\[ p(x) = \sum_{k=1}^{n} \langle u_k, x \rangle u_k. \]
Exemples de produits scalaires et matrices de Gram associées
La matrice de Gram n’est pas limitée au produit scalaire canonique de \( \mathbb{R}^n \). On la rencontre dans de nombreux espaces euclidiens du programme ECG.
Par exemple, sur l’espace des fonctions continues sur \( [a, b] \) muni du produit scalaire \( \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) dt \), la matrice de Gram d’une famille \( (f_1, \ldots, f_n) \) a pour coefficients \( g_{i,j} = \int_a^b f_i(t) f_j(t) dt \).
De même, sur \( M_n(\mathbb{R}) \) muni de \( \langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^tA B) \), la matrice de Gram s’exprime à l’aide de traces de produits matriciels. Ces exemples sont fréquents dans les sujets de concours, et la matrice de Gram y joue toujours le même rôle structurant.
Travailler la fonction sinus cardinal
Si tu veux travailler cette matrice de Gram, voilà un sujet de concours où tu peux la retrouver.
Conclusion
La matrice de Gram est un outil que tu retrouveras souvent aux concours. Pour ces derniers, tu n’as pas à connaître les propriétés autour de cette matrice. Néanmoins, il est utile de t’entraîner. Tu pourras ainsi travailler l’analyse bilinéaire (très courantes aux concours).
