Les matrices circulantes sont des matrices dont chaque ligne est obtenue par décalage circulaire de la précédente. Elles apparaissent fréquemment dans les sujets de concours, que ce soit à HEC ou à l’EDHEC, car elles offrent un cadre naturel pour travailler les polynômes de matrices, la diagonalisation et les propriétés des racines de l’unité. Cet article définit les matrices circulantes, établit leur représentation comme polynôme en une matrice de permutation, étudie la diagonalisation de cette matrice, puis en déduit les propriétés spectrales des matrices circulantes.
Définition
Soient \( n \geq 2 \) un entier et \( c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} \) des réels. La matrice circulante associée est la matrice \( C \in M_n(\mathbb{R}) \) définie par :
\[ C = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-2} \\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 & \cdots & c_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_0 \end{pmatrix}. \]
Chaque ligne est obtenue en décalant la ligne précédente d’une position vers la droite, le dernier coefficient revenant en première position. La matrice est entièrement déterminée par sa première ligne \( (c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}) \).
La matrice de permutation circulaire
L’étude des matrices circulantes repose sur une matrice particulière : la matrice de permutation circulaire, notée \( J \), définie par :
\[ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. \]
Cette matrice correspond à la permutation circulaire des vecteurs de la base canonique : \( Je_1 = e_n \), \( Je_2 = e_1 \), …, et \( Je_n = e_{n-1} \). En d’autres termes, \( J \) décale chaque coordonnée d’une position.
La propriété fondamentale de \( J \) est que \( J^n = I_n \). En effet, appliquer \( n \) fois la permutation circulaire ramène chaque vecteur à sa position initiale. Le polynôme \( X^n – 1 \) est donc un polynôme annulateur de \( J \).
Représentation polynomiale
Le lien entre matrices circulantes et matrice \( J \) est le suivant : toute matrice circulante s’écrit comme un polynôme en \( J \). Plus précisément :
\[ C = c_0 I_n + c_1 J + c_2 J^2 + \cdots + c_{n-1} J^{n-1}. \]
Ce résultat se vérifie par calcul direct. La matrice \( J^k \) est la matrice de permutation qui décale de \( k \) positions. En sommant les contributions \( c_k J^k \), on reconstitue exactement la matrice circulante \( C \).
On peut noter \( P(X) = c_0 + c_1 X + c_2 X^2 + \cdots + c_{n-1} X^{n-1} \), de sorte que \( C = P(J) \). Ce point de vue est extrêmement puissant : toutes les propriétés de \( C \) se déduisent de celles de \( J \).
Une conséquence immédiate est que deux matrices circulantes commutent. En effet, si \( C = P(J) \) et \( C’ = Q(J) \), alors \( CC’ = P(J)Q(J) = Q(J)P(J) = C’C \), car les polynômes en une même matrice commutent toujours.
Étude de la matrice \( J \) dans le cas \( n = 3 \)
Pour illustrer concrètement la diagonalisation, traitons le cas \( n = 3 \). La matrice de permutation circulaire est :
\[ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
On a \( J^3 = I_3 \), donc le polynôme \( X^3 – 1 = (X – 1)(X^2 + X + 1) \) est annulateur de \( J \). Les valeurs propres de \( J \) sont parmi les racines de \( X^3 – 1 \). La racine réelle est \( \lambda = 1 \).
Cherchons le sous-espace propre associé à \( \lambda = 1 \). On résout \( (J – I_3)X = 0 \) :
\[ J – I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]
Par pivot de Gauss, on trouve que le noyau est de dimension 1, engendré par \( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \). Ainsi 1 est valeur propre simple de \( J \).
Le polynôme \( X^2 + X + 1 \) n’a pas de racine réelle (son discriminant vaut \( -3 < 0 \)). Cela signifie que \( J \) n’est pas diagonalisable dans \( M_3(\mathbb{R}) \). Néanmoins, la décomposition \( X^3 – 1 = (X-1)(X^2+X+1) \) permet de décomposer \( \mathbb{R}^3 \) en somme directe de sous-espaces stables par \( J \), ce qui suffit pour étudier les matrices circulantes d’ordre 3.
Valeurs propres d’une matrice circulante d’ordre 3
Soit \( C = c_0 I_3 + c_1 J + c_2 J^2 \) une matrice circulante d’ordre 3. Puisque \( C = P(J) \) avec \( P(X) = c_0 + c_1 X + c_2 X^2 \), les valeurs propres de \( C \) sont les images par \( P \) des valeurs propres de \( J \).
La valeur propre \( \lambda = 1 \) de \( J \) donne la valeur propre \( P(1) = c_0 + c_1 + c_2 \) pour \( C \), avec le vecteur propre \( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \). Ce résultat est très utile en pratique : la somme des coefficients de la première ligne est toujours valeur propre d’une matrice circulante.
Pour trouver les autres valeurs propres, on peut calculer directement le polynôme caractéristique de \( C \), ou bien exploiter le fait que \( J^2 + J + I_3 \) est un polynôme annulateur du sous-espace supplémentaire.
Dans un sujet de concours, l’énoncé guide généralement vers la méthode appropriée.
La matrice \( J_n = (1)_{i,j} \) et les matrices circulantes
Un cas particulier fréquent aux concours est la matrice dont tous les coefficients valent 1, souvent notée \( J_n \) (à ne pas confondre avec la matrice de permutation). On a \( J_n = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \). Cette matrice est circulante avec \( c_0 = c_1 = \cdots = c_{n-1} = 1 \), soit \( J_n = I_n + J + J^2 + \cdots + J^{n-1} \).
Puisque \( J^n = I_n \), on a \( J_n = \displaystyle \frac{J^n – I_n}{J – I_n} \) au sens formel (en utilisant la factorisation de \( X^n – 1 \)). La valeur propre associée à \( \lambda = 1 \) pour \( J \) est \( P(1) = n \), et on vérifie que \( J_n^2 = nJ_n \), ce qui confirme que \( J_n \) est \( n \) fois un projecteur.
Propriétés générales
Résumons les propriétés des matrices circulantes qui sont les plus utiles aux concours.
Toute matrice circulante s’écrit \( C = P(J) \) où \( P \) est un polynôme et \( J \) la matrice de permutation circulaire. Deux matrices circulantes de même taille commutent. La somme et le produit de deux matrices circulantes sont des matrices circulantes. Si \( C \) est inversible, alors \( C^{-1} \) est également circulante.
Le spectre de \( C = P(J) \) est constitué des valeurs \( P(\omega) \) où \( \omega \) parcourt les valeurs propres de \( J \). En particulier, \( P(1) = c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-1} \) est toujours valeur propre de \( C \), avec le vecteur propre \( \begin{pmatrix} 1 \ \vdots \ 1 \end{pmatrix} \).
La trace de \( C \) vaut \( nc_0 \), ce qui se lit directement sur la diagonale.
Travailler les matrices circulantes
Si tu veux travailler les matrices circulantes, voilà un sujet de concours où tu peux les retrouver :
Conclusion
Les matrices circulantes sont un thème récurrent aux concours qui est apprécié pour la richesse des techniques qu’il mobilise : polynômes de matrices, polynômes annulateurs, diagonalisation et décomposition en sous-espaces stables.
Pour les concours, le réflexe essentiel est d’identifier la matrice de permutation \( J \) et d’écrire la matrice circulante sous la forme \( C = P(J) \). La relation \( J^n = I_n \) fournit immédiatement un polynôme annulateur, et la valeur propre \( P(1) = c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-1} \) s’obtient sans calcul. Lorsque l’énoncé demande de diagonaliser une matrice circulante, il faut penser à factoriser \( X^n – 1 \) et à exploiter les sous-espaces propres de \( J \).
