La notion hors programme de matrices orthogonales joue un rôle central en algèbre linéaire et bilinéaire. Ces dernières sont d’ailleurs tombées dans le sujet de Maths I HEC/ESSEC 2024 et, en ce sens, il peut être bon de développer plusieurs réflexes quant à leur étude grâce aux définitions, propriétés et exemples que voici dans cet article ! Il conviendra d’abord de revenir sur la définition (la plus basique) des matrices orthogonales, avant d’étudier deux exemples ultra-classiques (qui tombent souvent aux écrits et oraux) de ces matrices. Enfin, nous analyserons les caractérisations de ces matrices, avant de finir par étudier le groupe orthogonal.
Préambule : je ne peux que te conseiller de regarder l’article que nous avons fait sur les endomorphismes orthogonaux avant de poursuivre ici, si jamais tu ne te sens pas à l’aise avec la notion !
Définition
Précisons tout d’abord que l’espace \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \) est muni du produit scalaire canonique \( \langle X, Y \rangle = X^T Y \).
Soit \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \). On dit que \( A \) est orthogonale si :
\[
A^T A = I_n \quad (\text{ équivalent à } A^{-1} = A^T)
\]
Quelques exemples
Pour ces deux exemples très classiques qui reviennent souvent dans les sujets d’écrits, tu peux t’entraîner à montrer que ce sont des matrices orthogonales de manière classique en revenant à la définition vue plus haut (nous verrons ensuite d’autres manières de montrer qu’une matrice est orthogonale).
Exemple 1 : Matrice de rotation dans le plan
\[
A = \begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\]
En effet, la transposée de \( A \) est :
\[
A^T = \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\]
Le produit \( A \times A^T \) est :
\[
A \times A^T = \begin{pmatrix}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta – \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta – \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Donc : \(A\) est bien orthogonale.
Exemple 2 : Matrice de symétrie
\[
B = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\]
La transposée de \( B \) est :
\[
B^T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\]
Le produit \( B \times B^T \) est :
\[
B \times B^T = \begin{pmatrix}
1 \times 1 + 0 \times 0 & 1 \times 0 + 0 \times (-1) \\
0 \times 1 + (-1) \times 0 & 0 \times 0 + (-1) \times (-1)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Ainsi, \(B\) est bien une matrice orthogonale.
Caractérisations
Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales qui permettent de démontrer de différentes manières qu’une matrice est orthogonale.
Soit \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \), les assertions suivantes sont équivalentes :
- \( A^T A = I_n \) (*)
- Les colonnes de \( A \) forment une famille orthonormée de \( \mathbb{R}^n \) (**)
- Les lignes de \( A \) forment une famille orthonormée (***)
- Pour tous \( i,j \in [1,n] \),\(\sum_{k=1}^n a_{ki} a_{kj} = \delta_{ij}\) (****)
Montrons que toutes ces propositions sont équivalentes, puisque ces équivalences sont rapides à prouver et ne nécessitent pas de longues démonstrations. De plus, les comprendre te permettra de mieux t’approprier la notion de matrice orthogonale !
Pour démontrer que les propositions sont équivalentes, nous devons montrer que chaque proposition implique la suivante et, enfin, que la dernière implique la première, de sorte que les propositions forment un cycle d’implications.
(*) \(\Rightarrow\) (**)
Si \( A^T A = I_n \), alors pour toute paire de colonnes \( \mathbf{a}_i \) et \( \mathbf{a}_j \) de \( A \), nous avons :
\[
\mathbf{a}_i^T \mathbf{a}_j = \begin{cases}
1 & \text{si } i = j, \\
0 & \text{si } i \neq j.
\end{cases}
\]
Cela signifie que les colonnes de \( A \) sont orthonormées (CQFD)
(**) \(\Rightarrow\) (***)
Si les colonnes de \( A \) sont orthonormées, alors \( A^T A = I_n \). Puisque \((A^T A)^T = A A^T\), on a \( A A^T = I_n \) (car \( A \) est carrée). Ainsi, comme on sait que les colonnes d’une matrice transposée sont les lignes de la matrice (sans être transposée), les lignes de \( A \) sont également orthonormées.
(***) \(\Rightarrow\)(****)
Il convient tout d’abord de noter que l’élément \(\sum_{k=1}^n a_{ki} a_{kj}\) représente \((A^T A)_{i,j}\). Si les lignes de \( A \) sont orthonormées, alors le produit scalaire de deux lignes distinctes est 0 et le produit scalaire d’une ligne avec elle-même est 1. Ainsi, si \(i=j\), alors le coefficient de la matrice vaut 1, sinon il vaut 0.
Cela se traduit par :
\[
\sum_{k=1}^n a_{ki} a_{kj} = \delta_{ij}.
\]
(****) \(\Rightarrow\)(*)
Si \( \sum_{k=1}^n a_{ki} a_{kj} = \delta_{ij} \), (où \(\delta_{ij}\) est le symbole de Kronecker), alors la matrice \( A^T A \) a des entrées qui sont 1 sur la diagonale et 0 ailleurs, ce qui signifie que \( A^T A = I_n \).
Ainsi, nous avons montré que toutes les propositions sont équivalentes.
Le groupe orthogonal \( \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \)
Stabilité du groupe orthogonal
L’ensemble des matrices orthogonales de taille \( n \times n \), c’est-à-dire des matrices \( A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \) vérifiant \( A^\top A = I_n \), forme un sous-groupe de \( \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \), noté \( \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \).
Ce sous-groupe est stable par produit matriciel : si \( A, B \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \), alors \( AB \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \), et il est également stable par passage à l’inverse : si \( A \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \), alors \( A^{-1} \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) \).
Tu peux essayer de réaliser les démonstrations de ces deux propriétés, ces dernières sont assez accessibles et pourraient typiquement faire l’objet de questions dans un début de sujet ! (Indice : repartir de la première définition vue de la matrice orthogonale.)
Matrices orthogonales et changement de base
Matrice de passage entre bases orthonormées
Soient \( \mathcal{B}, \mathcal{B}’ \) deux bases orthonormées d’un espace euclidien \( E \). La matrice de passage de \( \mathcal{B} \) vers \( \mathcal{B}’ \) est une matrice orthogonale.
Il ne semble ici pas pertinent de fournir une démonstration qui reviendrait à surcharger le nombre de notions vues dans cet article, d’autant que cette dernière est assez longue…
Formule de changement de base
Il ne s’agit pas ici de développer une véritable propriété (même si l’on va se baser sur la propriété précédente), mais simplement d’établir un rappel pour éviter de bloquer à la fin d’une question d’un sujet. Si tu es en deuxième année, tu as sûrement déjà croisé des sujets qui demandent dans une question d’établir une relation matricielle du type \(A’ = P^{-1} A P\) voire \(A’ = P^T A P\).
Pour cette seconde relation, il convient en général d’établir que \(P\) est orthogonale pour en déduire que \(P^{-1} = P^T\) et conclure grâce à la formule de changement de base.
On a donc la formule suivante :
Soit \( u \in \mathcal{L}(E) \), et soient \( A = \text{Mat}_\mathcal{B}(u) \), \( A’ = \text{Mat}_{\mathcal{B}’}(u) \), \( P = \text{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}’}(\text{Id}) \).
Si \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{B}’ \) sont orthonormées, alors :
\[
A’ = P^{-1} A P = P^T A P
\]
Conclusion
En définitive, les endomorphismes orthogonaux peuvent être analysés sous le prisme de leur représentation matricielle, ce qui peut faciliter leur étude.
Comme cette notion est déjà tombée aux écrits, typiquement dans le Maths I HEC/ESSEC 2024, je ne peux que te recommander de t’entraîner sur ce sujet si tu en ressens l’utilité.
