Les notions d’image et de noyau sont à maîtriser sur le bout des doigts. Grands classiques des épreuves de mathématiques des différentes banques, il est crucial d’être à l’aise avec celles-ci et leurs utilisations. Cet article est là pour t’aider à mieux appréhender ces points majeurs du programme d’ECG.
Rappels introductifs
Les notions d’image (Im) et de noyau (Ker) sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire. Elles décrivent respectivement l’ensemble des résultats obtenus par une transformation linéaire et l’ensemble des vecteurs qui sont envoyés vers le vecteur nul. Ces notions sont cruciales dans l’étude des applications linéaires entre espaces vectoriels.
L’image (Im)
Définition
L’image d’une application linéaire \( f: V \to W \) (où \( V \) et \( W \) sont des espaces vectoriels) est l’ensemble des vecteurs de \( W \) qui sont obtenus par l’application de \( f \) à des vecteurs de \( V \).
Formellement, l’image de \( f \) est définie par :
\[
\text{Im}(f) = \{ f(v) \mid v \in V \}.
\]
Cela représente l’ensemble des vecteurs que l’on peut obtenir en appliquant \( f \) à tous les vecteurs de \( V \). Si \( f \) est une transformation linéaire, l’image est un sous-espace vectoriel de \( W \).
Propriétés de l’image
- Si \( f \) est une application linéaire, alors \( \text{Im}(f) \) est un sous-espace de \( W \).
- Le rang de \( f \), noté \( \text{rang}(f) \), est la dimension de l’image de \( f \).
- Si \( f \) est surjective (c’est-à-dire que \( f \) « couvre » tout \( W \)), alors \( \text{Im}(f) = W \).
Exemple
Soit \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) définie par \( f(x, y, z) = (x + y, y + z) \).
L’image de \( f \) est l’ensemble des vecteurs \( (x + y, y + z) \) dans \( \mathbb{R}^2 \).
Ce sous-espace de \( \mathbb{R}^2 \) est une droite, et donc \( \text{dim}(\text{Im}(f)) = 1 \).
Représentation matricielle
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) une application linéaire donnée par une matrice \(A\) de taille \(m \times n\).
L’image de \(f\) correspond à l’espace des colonnes de \(A\).
Pour trouver une base de \(\text{Im}(f)\), on extrait les colonnes linéairement indépendantes de \(A\).
\(\text{Im}(f)\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^m\). Sa \(\textbf{dimension}\) est appelée le \(\textbf{rang}\) de \(A\).
Exemple
L’image est le span des colonnes de \(A\) :
\[
\text{Im}(f) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix}\right).
\]
En réduisant les colonnes, on trouve une base de \(\text{Im}(f)\) :
\[
\text{Im}(f) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}\right).
\]
Le noyau (Ker)
Définition
Le noyau d’une application linéaire \( f: V \to W \) est l’ensemble des vecteurs de \( V \) qui sont envoyés vers le vecteur nul de \( W \).
Formellement, le noyau de \( f \) est défini par :
\[
\text{Ker}(f) = \{ v \in V \mid f(v) = 0_W \},
\]
où \( 0_W \) désigne le vecteur nul dans \( W \). Le noyau contient donc tous les vecteurs qui sont « annulés » par l’application \( f \).
Propriétés du noyau
- Le noyau de \( f \), \( \text{Ker}(f) \), est toujours un sous-espace vectoriel de \( V \).
- La dimension du noyau est appelée nullité de \( f \).
Représentation matricielle
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) une application linéaire donnée par une matrice \(A\) de taille \(m \times n\).
Pour trouver \(\text{Ker}(f)\), on résout le système homogène :
\[
A \cdot x = 0.
\]
Les solutions \(x\) de ce système forment \(\text{Ker}(f)\).
Exemple
Soit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) donnée par la matrice :
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Pour trouver \(\text{Ker}(f)\), résolvons \(A \cdot x = 0\) :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}.
\]
Ce système donne :
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, \\
x_2 – x_3 = 0.
\end{cases}
\]
En résolvant, on obtient :
\[
\text{Ker}(f) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}\right).
\]
Exemple
Soit \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) définie par \( f(x, y, z) = (x + y, y + z) \).
Le noyau de \( f \) est l’ensemble des vecteurs \( (x, y, z) \) tels que \( x + y = 0 \) et \( y + z = 0 \).
Cela implique que \( x = -y \) et \( z = -y \), donc le noyau de \( f \) est l’ensemble des vecteurs de la forme \( (-y, y, -y) \), avec \( y \in \mathbb{R} \).
Le noyau est donc une droite dans \( \mathbb{R}^3 \), et \( \text{dim}(\text{Ker}(f)) = 1 \).
Relation entre l’image et le noyau
Soit \( f: V \to W \) (où \( V \) et \( W \) sont des espaces vectoriels) est l’ensemble des vecteurs de \( W \) qui sont obtenus par l’application de \( f \) à des vecteurs de \( V \).
Les notions d’image et de noyau sont reliées par le théorème du rang, qui donne une relation importante entre les dimensions de ces deux sous-espaces :
\[
\text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Im}(f)) + \text{dim}(\text{Ker}(f)).
\]
\[
\text{dim}(V) = \text{rang}(f)) + \text{dim}(\text{Ker}(f)).
\]
Ce théorème montre que la dimension de l’espace de départ \( V \) est égale à la somme du rang (dimension de l’image) et de la nullité (dimension du noyau) de l’application linéaire \( f \).
Exercice pratique
Afin de t’entraîner sur ces deux notions clés, voici un exercice pratique à faire et à refaire !
Soit l’application linéaire \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\) définie par sa matrice associée \(A \in M_{3,4}(\mathbb{R})\) :
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 4 & 1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Questions
- Trouver une base de \(\text{Ker}(f)\) et calculer sa dimension.
- Trouver une base de \(\text{Im}(f)\) et calculer sa dimension.
- Vérifier la relation donnée par le théorème du rang : \( \text{dim}(\text{Ker}(f)) + \text{dim}(\text{Im}(f)) = 4. \)
- Déterminer si le vecteur \(b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) appartient à \(\text{Im}(f)\).
- Si \(b \in \text{Im}(f)\), résoudre l’équation \(f(x) = b\).
Corrigé
1. Calcul du noyau (\(\text{Ker}(f)\))
Pour trouver \(\text{Ker}(f)\), on résout \(A \cdot x = 0\), où \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\). Cela donne le système linéaire suivant :
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 – x_3 = 0, \\
x_2 + 3x_3 + x_4 = 0, \\
2x_1 + 4x_2 + x_3 – x_4 = 0.
\end{cases}
\]
Réduisons la matrice :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0
\end{pmatrix}.
\]
On obtient le système :
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 – x_3 = 0, \\
x_2 + 3x_3 + x_4 = 0, \\
x_3 – \frac{1}{3}x_4 = 0.
\end{cases}
\]
En posant \(x_4 = t\) (\(t \in \mathbb{R}\)), on trouve :
\[
x_3 = \frac{1}{3}t, \quad x_2 = -t, \quad x_1 = -\frac{1}{3}t.
\]
Donc :
\[
\text{Ker}(f) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} \\ -1 \\ \frac{1}{3} \\ 1
\end{pmatrix}\right).
\]
Ainsi \(\fbox{\(\text{dim}(\text{Ker}(f)) = 1\)}\).
2. Calcul de l’image (\(\text{Im}(f)\))
L’image est donnée par les colonnes de \(A\). Appliquons une réduction par pivot de \(A\) pour déterminer les colonnes linéairement indépendantes :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 4 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Les colonnes \(1\), \(2\), et \(3\) sont indépendantes. Une base de \(\text{Im}(f)\) est donc donnée par :
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 \\ 3 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\}.
\]
Ainsi \(\fbox{\(\text{dim}(\text{Im}(f)) = 3\)}\).
3. Vérification du théorème du rang
Le théorème du rang affirme :
\[
\text{dim}(\text{Ker}(f)) + \text{dim}(\text{Im}(f)) = 4.
\]
On a :
\[
\text{dim}(\text{Ker}(f)) = 1, \quad \text{dim}(\text{Im}(f)) = 3.
\]
Donc :
\[
1 + 3 = 4.
\]
La relation est vérifiée.
4. Vérification de \(b \in \text{Im}(f)\)
Pour déterminer si \(b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) appartient à \(\text{Im}(f)\), on résout \(A \cdot x = b\). Cela revient à résoudre :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 4 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 4 \\ 6
\end{pmatrix}.
\]
Par réduction, on trouve que le système est compatible. Donc \(\fbox{\(b \in \text{Im}(f)\)}\).
5. Résolution de \(f(x) = b\)
En continuant la réduction, la solution générale est donnée par :
\[
x =
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} \\ -1 \\ \frac{1}{3} \\ 1
\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.
\]
Conclusion
Lorsque tu seras à l’aise sur ces notions, tu peux t’essayer à des applications plus compliquées de Ker et Im. Pour cela, tu peux consulter cet article.
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