L’interpolation polynomiale est l’un des outils fondamentaux de l’analyse numérique. Elle repose sur une intuition simple, mais puissante : plus on utilise de points, plus l’approximation d’une fonction est fidèle. Pourtant, une réalité bien plus nuancée émerge lorsqu’on se frotte à certains cas, tel est le phénomène qui a été mis en évidence par Runge.
Introduction
Revenons donc au contexte, en évoquant les principes de l’interpolation polynomiale de Lagrange, avant de définir le problème de Runge et d’intuiter une explication de ce phénomène. Enfin, nous reviendrons sur les solutions pour tenter de nuancer la portée de ce phénomène.
N.B. : L’idée de cet article n’est pas de te fournir une démonstration de ce phénomène qui sera bien trop longue et obscure, même pour un(e) élève de deuxième année de prépa ECG. Ce dernier te permettra néanmoins d’appréhender le phénomène et d’intuiter son fonctionnement et les manières de s’en affranchir.
Les attendus de l’interpolation polynomiale lagrangienne
Nous ne reviendrons pas ici sur la notion d’interpolation et la manière dont il est possible d’interpoler une fonction à l’aide des polynômes de Lagrange. Un article y a déjà été consacré et je ne peux que t’y renvoyer avant de lire ce qui suit.
Précisons simplement une chose : interpoler une fonction, c’est chercher un polynôme \( P_n \) de degré \( n \) qui passe par \( n+1 \) points donnés de la fonction. Le principe étant qu’en augmentant \( n \), on espère que \( P_n(x) \rightarrow f(x) \) pour tout \( x \) dans l’intervalle d’interpolation.
Et c’est justement là qu’intervient le phénomène de Runge qui précise que, dans certains cas, l’erreur d’interpolation augmente avec le nombre de points, en particulier sur les bords de l’intervalle.
Définition et caractérisation du phénomène de Runge
Définition et caractérisation
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} \left| f(x) – P_n(x) \right| \right) = \infty.
\]
Intuition : il se trouve en effet que, de manière générale, lorsqu’on tente d’interpoler une fonction qui varie beaucoup autour du point d’abscisse \(x=0\) sur un intervalle donné, on obtient une bonne approximation au centre, mais des oscillations importantes aux extrémités (et ce, plus le nombre de points d’interpolation augmente).
Voyons dès à présent un exemple concret de ce phénomène.
Exemple avec une fonction arctangente
La fonction \( \arctan(10x) \) est infiniment dérivable sur \( \mathbb{R} \), bornée et strictement croissante.
À première vue, rien d’inquiétant. Pourtant, elle change très rapidement de valeur autour de 0 (nous reviendrons à ce problème par la suite). De ce fait, lorsqu’on tente d’interpoler cette fonction sur l’intervalle \( [-1, 1] \) en utilisant des points équidistants, on observe une bonne approximation au centre, mais des oscillations importantes aux extrémités dès que le nombre de points augmente.
Voici une observation graphique de ce phénomène :
Phénomène que tu pourras constater pour plusieurs types de fonctions qui varient fortement autour de 0. Tu pourras également essayer avec la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{1}{1+100x^2}\), cela fonctionne également.
Explication intuitive
Il existe le sujet HEC 1988 ECE et le sujet HEC 2017 ECS qui traitent tous les deux du phénomène de Runge à partir d’un exemple concret (il s’agissait en l’espèce de la fonction \(f\) définie par \(f_a(x) = \frac{1}{a^2 + x^2}\), où \(a\) est un paramètre réel strictement positif). Si même les sujets les plus durs côté HEC ne s’attachent pas à une démonstration formelle du phénomène, il convient déjà de comprendre le phénomène de manière intuitive.
De deux choses l’une :
- D’une part, un polynôme de degré élevé a du mal à suivre les fonctions qui changent rapidement localement sans créer de grosses oscillations ailleurs (voir le cas de la fonction arctangente).
- D’autre part, le polynôme d’interpolation contient un produit du type \( (x – x_0)(x – x_1)…(x – x_n) \), qui explose aux bords lorsque les \( x_i \) sont équidistants.
Les solutions au phénomène
Points de Tchebychev
Nous l’avons dit précédemment, l’équidistance des points dans le cas d’une interpolation de Lagrange explique en partie le phénomène de Runge. Il convient alors de trouver la manière de construire les points d’interpolation pour réduire ce phénomène de Runge.
Il est ainsi possible d’utiliser les points dits de « Tchebychev » définis par :
\[
x_k = \cos\left( \frac{2k+1}{2(n+1)}\pi \right)
\]
En effet, ces points sont plus concentrés aux extrémités de l’intervalle, ce qui permet de réduire fortement l’amplitude des oscillations (dit plus simplement : on demande au polynôme interpolateur de coller tout particulièrement la fonction interpolée aux bords de l’intervalle, c’est-à-dire là où le phénomène de Runge est le plus intense).
Voici le graphique de l’interpolation avec ces points et la fonction déjà considérée précédemment :
Splines
Voilà une définition préalable : une spline est une fonction définie par morceaux à l’aide de polynômes. On parle ainsi de splines cubiques lorsque la fonction raccorde des polynômes de degré 3 avec continuité de la dérivée première et seconde.
Il est donc possible d’utiliser une spline d’interpolation afin de limiter le phénomène de Runge et d’utiliser différents polynômes pour interpoler les extrémités de la fonction sur son intervalle d’interpolation (c’est-à-dire les abscisses de la fonction soumise au phénomène de Runge).
En reprenant l’exemple cité précédemment, on obtient l’interpolation suivante avec 10 points d’interpolation :
On a donc un résultat très précis d’interpolation, mais cela se fait au détriment de la simplicité de l’expression de la fonction interpolatrice.
Réduire le degré du polynôme
N’oublions pas de mentionner rapidement qu’une solution, certainement la plus simple, est de réduire le degré du polynôme, même si l’interpolation s’en retrouvera être moins efficace au centre de l’intervalle (voir les images pour la fonction arctangente).
Conclusion
Ainsi, le problème de Runge est sûrement le plus gros problème de l’interpolation de Lagrange qui conduit à une interpolation aberrante aux extrémités de l’intervalle d’interpolation de certaines fonctions. Cependant, nous avons vu qu’il est possible de s’affranchir, du moins dans une certaine mesure, de ce problème en passant par diverses méthodes : points de Tchebychev, spline ou encore simple réduction du degré du polynôme interpolateur.
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