Les polynômes annulateurs jouent un rôle fondamental dans l’étude des endomorphismes et des matrices. Ils permettent d’obtenir des informations puissantes sur les endomorphismes : leur bijectivité, leurs valeurs propres, ou encore des formules explicites pour leur inverse. Dans cet article, nous passerons en revue les propriétés fondamentales des polynômes annulateurs.
Définition du polynôme annulateur
Pour un endomorphisme
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
On dit qu’un polynôme \(Q\) est annulateur de \(f\) si :
\[
Q(f) = 0_E,
\]
c’est-à-dire si l’endomorphisme obtenu en remplaçant la variable \(X\) par \(f\) dans \(Q\) est l’endomorphisme nul.
Si par exemple \(Q(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_r X^r\), alors :
\[
Q(f) = a_0 \, Id_E + a_1 f + \dots + a_r f^r.
\]
On dit alors que \(Q\) annule \(f\).
Pour une matrice
De façon analogue, on dit qu’un polynôme \(Q\) est annulateur d’une matrice carrée \(A \in M_n(\mathbb{R})\) si :
\[
Q(A) = 0_n,
\]
autrement dit, si la matrice obtenue en remplaçant \(X\) par \(A\) dans le polynôme est la matrice nulle.
Exemple :
Pour la matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Soit \(Q(X) = (X – 2)(X – 3) = X^2 – 5X + 6\)
Calculons \(Q(A)\) :
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix},
\]
\[
5A = 5 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix},
\]
\[
6I = 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}.
\]
Ainsi,
\[
A^2 – 5A + 6I = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}
– \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
\]
On a donc bien \(Q(A) = 0\), ce qui montre que \(Q\) est un polynôme annulateur de \(A\).
Existence d’un polynôme annulateur
Théorème :
Si \(E\) est de dimension finie, alors tout endomorphisme \(f\) de \(E\) admet au moins un polynôme annulateur non nul.
La démonstration de ce théorème est tombée plusieurs fois au concours, donc travaille-la bien.
Démonstration :
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\), et notons \(\dim(E) = n\).
L’ensemble des endomorphismes de \(E\) forme un espace vectoriel \(\mathcal{L}(E)\) de dimension \(n^2\).
Les puissances successives de \(f\), c’est-à-dire \(Id_E, f, f^2, \dots, f^{n^2}\), forment donc une famille de \(n^2 + 1\) éléments dans un espace vectoriel de dimension \(n^2\) : elles sont liées.
Il existe donc des réels \(a_0, a_1, \dots, a_r\), non tous nuls, tels que :
\[
a_0 \, Id_E + a_1 f + \dots + a_r f^r = 0.
\]
Le polynôme \(Q(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_r X^r\) est alors un polynôme annulateur de \(f\).
Polynôme annulateur et inversibilité d’une matrice
Soit \(Q(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_r X^r\) un polynôme annulateur d’une matrice \(A\).
Si \(a_0 \neq 0\), on peut en déduire que \(A\) est inversible.
En effet, on a :
\[
a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \dots + a_r A^r = 0.
\]
En isolant les termes contenant \(A\), on obtient :
\[
a_1 A + a_2 A^2 + \dots + a_r A^r = -a_0 I.
\]
On peut alors factoriser par \(A\) (puisque les puissances d’ordre supérieur contiennent toutes un facteur \(A\)) :
\[
A(a_1 I + a_2 A + \dots + a_r A^{r-1}) = -a_0 I.
\]
Ainsi, en multipliant les deux côtés par \(-1/a_0\) :
\[
A^{-1} = -\frac{1}{a_0} (a_1 I + a_2 A + \dots + a_r A^{r-1}).
\]
Exemple :
Prenons \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\).
On calcule facilement que \(Q(X) = X^2 + 3X + 2\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En effet :
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix},
\]
\[
3A = 3 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -6 & -9 \end{pmatrix},
\]
\[
2I = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
\]
Ainsi,
\[
A^2 + 3A + 2I = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -6 & -9 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
\]
On a donc bien \(A^2 + 3A + 2I = 0.\)
En isolant les termes avec \(A\), on a :
\[
3A + 2I = -A^2.
\]
Puis :
\[
A(3I + A) = -2I.
\]
On peut alors écrire :
\[
A^{-1} = -\frac{1}{2}(3I + A).
\]
Ce calcul montre comment, à partir du polynôme annulateur, on peut déterminer l’inverse d’une matrice sans passer par le calcul du déterminant.
Polynôme annulateur et bijectivité d’un endomorphisme
Le même raisonnement s’applique à un endomorphisme \(f\).
Si \(Q\) est un polynôme annulateur de \(f\) tel que \(a_0 \neq 0\), alors \(f\) est bijectif, et on peut exprimer son inverse à partir de \(f\) lui-même :
\[
a_0 Id_E + a_1 f + a_2 f^2 + \dots + a_r f^r = 0.
\]
On isole les termes contenant \(f\) :
\[
a_1 f + a_2 f^2 + \dots + a_r f^r = -a_0 Id_E.
\]
Puis, on factorise par \(f\) :
\[
f(a_1 Id_E + a_2 f + \dots + a_r f^{r-1}) = -a_0 Id_E.
\]
Ainsi, en multipliant par \(-1/a_0\), on obtient :
\[
f^{-1} = -\frac{1}{a_0} (a_1 Id_E + a_2 f + \dots + a_r f^{r-1}).
\]
Exemple :
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) défini par :
\[
f(x, y) = (x + y, y).
\]
Le polynôme \(Q(X) = (X – 1)^2 = X^2 – 2X + 1\) est annulateur de \(f\), car :
\[
f^2 – 2f + Id_E = 0.
\]
Ainsi, on peut écrire :
\[
f(f – 2Id_E) = -Id_E,
\]
d’où :
\[
f^{-1} = 2Id_E – f.
\]
Cette expression donne l’inverse de \(f\) directement, sans calcul matriciel.
Valeurs propres et polynômes annulateurs
Cette propriété est très utile pour déterminer les valeurs propres possibles d’un endomorphisme ou d’une matrice. En effet, les valeurs propres de la matrice sont nécessairement parmi les racines du polynôme annulateur. Ainsi, si l’on trouve un polynôme simple qui annule la matrice, on peut immédiatement identifier les valeurs propres potentielles.
Propriété :
Si \( Q \) est un polynôme non nul annulateur de \( A \), alors les valeurs propres de \( A \) sont parmi les racines de \( Q \).
Démonstration :
Soit \( \lambda \) une valeur propre de \( A \) et \( X \) un vecteur propre associé, donc \( AX = \lambda X \).
On applique alors le polynôme \( Q \) à \( A \) :
\[
Q(A) = a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \dots + a_r A^r.
\]
En multipliant chaque terme par \( X \), on obtient :
\[
Q(A)X = a_0 X + a_1 AX + a_2 A^2 X + \dots + a_r A^r X
= a_0 X + a_1 \lambda X + a_2 \lambda^2 X + \dots + a_r \lambda^r X
= Q(\lambda) X.
\]
Mais, puisque \( Q(A) = 0 \), on a \( Q(A)X = 0 \).
Ainsi \( Q(\lambda) X = 0 \).
Or, \( X \neq 0 \), donc \( Q(\lambda) = 0 \).
On en déduit que toute valeur propre de \( A \) est racine du polynôme annulateur \( Q \).
Exemple :
Prenons la matrice
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Calculons un polynôme annulateur de \(A\).
On remarque que :
\[
(A – I)^2
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}^2
– 2 \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Ainsi, le polynôme \( Q(X) = (X – 1)^2 \) est annulateur de \(A\). (Dans un exercice, on nous aurait demandé de montrer qu’il s’agit bien d’un polynôme annulateur.)
Ses racines sont \( \lambda = 1 \).
On en déduit que \( 1 \) est la seule valeur propre possible de la matrice \(A\).
Travailler les polynômes annulateurs
Si tu veux travailler les polynômes annulateurs, voilà une liste d’exercices d’annales où tu peux en retrouver :
- MATHS EDHEC appro (Ex ECS) 2005 : exercice 1
- MATHS EDHEC appro (Ex ECS) 2008 : exercice 3
- MATHS EDHEC appli (Ex ECE) 2019 : exercice 1
Conclusion
Le polynôme annulateur est un outil fondamental de l’algèbre linéaire en classes préparatoires. Il permet de démontrer certaines propriétés essentielles (valeurs propres, inversibilité et bijectivité) des endomorphismes ou matrices. Au-delà de son intérêt théorique, il constitue une méthode pratique de calcul : trouver un polynôme simple qui annule une matrice permet souvent de déterminer ses valeurs propres, de calculer son inverse sans passer par des calculs lourds.
Dans de nombreux exercices de concours, la maîtrise du polynôme annulateur permet d’aller plus vite et plus loin, en mobilisant une approche conceptuelle plutôt qu’un simple raisonnement calculatoire.
