En algèbre, le polynôme propre, également appelé polynôme caractéristique, est bien plus qu’une simple expression mathématique. Il agit comme une empreinte digitale unique pour une matrice carrée, révélant ses propriétés les plus profondes et liant l’algèbre pure à la géométrie des transformations linéaires. Définissons donc la notion de polynôme propre, avant de l’étudier par ses propriétés et de finir par l’étude du polynôme propre minimal.
Définition
Le concept de polynôme propre est issu de la recherche des valeurs propres et des vecteurs propres. Pour une matrice carrée \(A\), nous cherchons des vecteurs non nuls \(v\) qui satisfont l’équation \(A v = \lambda v\), où \(\lambda\) est un scalaire. Cette équation peut être réécrite sous la forme \((A – \lambda I)v = 0\), où \(I\) est la matrice identité.
Le polynôme propre, noté \(P_A(\lambda)\) ou \(\chi_A(\lambda)\), est défini comme suit :
\[P_A(\lambda) = \det(A – \lambda I)\]
Comme l’étude du déterminant des matrices est restreinte au cas des matrices carrées de taille \(2\) dans le programme, nous ne pourrons malheureusement pas poursuivre cette approche, sans quoi nous nous éloignerons trop du programme de deuxième année d’algèbre.
Néanmoins, tu peux retenir que les racines de ce polynôme sont les valeurs de \(\lambda\) qui satisfont l’équation \(P_A(\lambda) = 0\). Ces racines sont, par définition, les valeurs propres de la matrice \(A\).
En pratique, c’est donc une manière accessible de trouver les valeurs propres de la matrice en passant par le calcul de racines du polynôme propre associé. En effet, il est souvent plus simple de déterminer les racines d’un polynôme que les valeurs propres d’une matrice.
Propriétés
Degré et coefficient dominant
Proposition
Pour une matrice \(n \times n\), le polynôme propre est toujours de degré \(n\). Son coefficient dominant est \((-1)^n\). Si tu ne prépares pas d’épreuves de Parisiennes, il semble plutôt inutile de t’attarder sur la suite de cette première sous-partie. La démonstration de cette propriété est hors programme, car elle demande de connaître la formule générale du déterminant d’une matrice comme voici :
Considérons une matrice carrée \(A\) de taille \(n \times n\) dont les éléments sont des scalaires. Le calcul du polynôme propre de \(A\) implique la construction de la matrice \(A – X \cdot I_n\), où \(X\) est une variable et \(I_n\) est la matrice identité.
Cette nouvelle matrice est de la forme :
\(A – X \cdot I_n = \begin{pmatrix}
a_{11}-X & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-X & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-X
\end{pmatrix}\)
Les coefficients de cette matrice ne sont plus de simples scalaires, mais des polynômes de degré 1 en \(X\) sur la diagonale principale et des polynômes de degré 0 (constantes) ailleurs.
Formule du déterminant
Le déterminant de cette matrice est défini par la formule de Leibniz (hors programme comme vu plus haut) :
\[\det(A – X \cdot I_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} (A – X \cdot I_n)_{i, \sigma(i)} \]
où \(S_n\) est le groupe des permutations de \(\{1, \dots, n\}\) et \(\varepsilon(\sigma)\) est la signature de la permutation \(\sigma\) (retiens simplement qu’il s’agit d’un réel qui vaut soit \(1\) soit \(-1\)).
En examinant cette somme, on constate que le terme de plus haut degré en \(X\) provient uniquement du produit des éléments de la diagonale principale, qui correspond à la permutation identité \(\sigma = \text{id}\). Tous les autres termes de la somme (ceux pour \(\sigma \ne \text{id}\)) contiennent au plus \(n-2\) facteurs de la forme \((a_{ii} – X)\), et donc leur degré en \(X\) est au maximum \(n-2\).
Le terme correspondant à la permutation identité est :
\[ \varepsilon(\text{id}) \prod_{i=1}^{n} (A – X \cdot I_n)_{i, i} = (+1) \prod_{i=1}^{n} (a_{ii} – X) = (a_{11}-X)(a_{22}-X)\cdots(a_{nn}-X) \]
Conclusion
En développant ce produit, le terme de plus haut degré est obtenu en multipliant tous les termes en \(-X\) :
\[(-X) \cdot (-X) \cdots (-X) = (-1)^n X^n\]
Ainsi, le polynôme propre \(P_A(X) = \det(A – X \cdot I_n)\) est un polynôme de degré \(n\), et son terme de plus haut degré est \((-1)^n X^n\).
Lien avec la trace et le déterminant
La trace de la matrice (la somme de ses éléments diagonaux) est égale à la somme de ses valeurs propres. Le déterminant de la matrice est égal au produit de ses valeurs propres.
En pratique, si on sait que la matrice a deux coefficients diagonaux \(\epsilon_1\) et \( \epsilon_2\) et que l’on a déjà trouvé une racine \(r_1\), alors on sait que \(r_2 = \epsilon_1 + \epsilon_2 -r_1 \)
Théorème de Cayley-Hamilton
Une propriété fondamentale est qu’une matrice est toujours une racine de son propre polynôme propre. En d’autres termes, si \(P_A(\lambda)\) est le polynôme propre de \(A\), alors \(P_A(A)\) est la matrice nulle.
Matrices semblables
Deux matrices qui sont « semblables » (elles représentent la même transformation linéaire dans des bases différentes) ont toujours le même polynôme propre.
En exercice, si tu es capable de trouver les valeurs propres d’une matrice \(M_1\) et que \(M_2\) est semblable à \(M_1\), alors \(M_2\) a les mêmes valeurs propres !
Multiplicité des racines du polynôme propre
Pour rappel, la multiplicité algébrique d’une valeur propre désigne sa multiplicité en tant que racine du polynôme propre. D’autre part, la multiplicité géométrique d’une valeur propre \(\lambda\) est la dimension de l’espace propre associé à cette valeur propre.
Propriété : La multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique. L’égalité pour toutes les valeurs propres est la condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice soit diagonalisable.
Polynôme minimal
Le polynôme minimal d’une matrice est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule la matrice. Le polynôme minimal divise toujours le polynôme propre, et leurs racines sont identiques, bien que leurs multiplicités puissent différer.
Une matrice n’a qu’un seul polynôme minimal.
Considérons la matrice suivante :
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Calcul du polynôme propre (\(P_A(\lambda)\))
\(P_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(2-\lambda) = (\lambda-2)^2\)
La seule valeur propre est \(\lambda = 2\), avec une multiplicité algébrique de 2.
Calcul du polynôme minimal (\(M_A(\lambda)\))
Le polynôme minimal doit diviser \((\lambda-2)^2\). Essayons \((\lambda – 2)\).
\(A – 2I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Puisque le plus petit polynôme qui annule \(A\) est \((\lambda – 2)\), le polynôme minimal de \(A\) est \(M_A(\lambda) = \lambda – 2\).
Dans ce second cas, le polynôme propre \(P_A(\lambda) = (\lambda – 2)^2\) et le polynôme minimal \(M_A(\lambda) = \lambda – 2\) sont différents. Ces exemples illustrent comment le polynôme minimal nous donne une information plus précise sur la structure de la matrice que le polynôme propre.
C’est pourquoi connaître le polynôme minimal est plus utile, car il nous permet d’avoir des informations plus précises sur l’étude des valeurs propres d’une matrice.
Conclusion
En définitive, l’étude des polynômes propres est fondamentale afin d’obtenir des informations sur les valeurs propres des matrices. Passer par l’étude des polynômes est souvent d’ailleurs plus aisé que l’étude d’une matrice. Par ailleurs, disposer d’un polynôme propre garantit l’exhaustivité des valeurs propres trouvées parmi les racines du polynôme en question.
Il n’y a désormais plus qu’à croiser les doigts pour qu’un tel thème tombe aux concours !
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