Le programme de première et de deuxième année de prépa ECG tient en analyse à chercher à conclure sur la convergence des séries. Les outils du programme peuvent être complétés par des théorèmes hors programme qui permettent d’affiner la détermination de la convergence d’une série. C’est ici qu’intervient la règle de Raabe-Duhamel. Bien que strictement hors programme, elle est régulièrement redécouverte au sein des problèmes de concours via des questions guidées, notamment dans des sujets de Parisiennes (Maths I/Maths II). Maîtriser cette notion peut donc permettre de s’offrir une longueur d’avance pour comprendre la vitesse de convergence d’une série étudiée en sujet.
Remarque préliminaire
Soit la suite, appelée suite de Wallis, définie pour tout \(n \geq 1\) par :
\[ u_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2n)} \]
La série \(\sum u_n\) est-elle convergente ?
Avec les outils du programme, il n’est pas aisé d’y répondre. Au terme de cet article, grâce à la règle de Raabe-Duhamel, nous pourrons conclure (voir la dernière partie de cet article s’attachant à donner un exemple d’application).
Introduction : le problème du quotient qui tend vers 1
Avant d’aborder la suite de cet article, il est important de se familiariser avec la règle de d’Alembert puisque la règle de Raabe-Duhamel s’inscrit dans son prolongement pour la préciser.
Rappel très succinct sur le sujet
La règle de d’Alembert, étudie la limite \(L = \lim \frac{u_{n+1}}{u_n}\). Si \(L=1\), on ne peut rien conclure. Ce « cas douteux » englobe pourtant des réalités très différentes :
- Pour \(u_n = \frac{1}{n}\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1\) et la série diverge.
- Pour \(u_n = \frac{1}{n^2}\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1\) et la série converge.
La règle de d’Alembert échoue donc. Voyons alors la règle de Raabe-Duhamel qui permet de préciser le cas des séries qui ne peuvent être traitées avec d’Alembert.
Énoncé de la règle de Raabe-Duhamel
Soit \(\sum u_n\) une série à termes strictement positifs. On suppose qu’il existe un développement limité du quotient de la forme :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 – \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Où \(\alpha\) est un réel constant.
- Si \(\alpha > 1\), alors la série \(\sum u_n\) converge.
- Si \(\alpha < 1\), alors la série \(\sum u_n\) diverge.
- Si \(\alpha = 1\), on est à nouveau dans un cas douteux.
Là encore, on étudie comme pour la règle de d’Alembert le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) mais on cherche un développement limité de ce quotient, pas seulement sa limite. Et c’est ce développement limité qui nous donne plus d’information sur la nature du quotient qui nous permettra de conclure.
Démonstration par la méthode des logarithmes
Il existe de multiples définitions de la règle de Raabe-Duhamel, voici ici une démonstration par la méthode des logarithmes, que l’on peut comprendre avec les outils du programme de prépa ECG. Cette démonstration est utile à beaucoup d’égards, elle permet notamment de vérifier ses connaissances sur la gestion des négligeabilités mais également de revoir l’équivalent de la série harmonique ou encore les sommes télescopiques !
Développement limité du logarithme
On part de l’hypothèse : \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 – \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\).
Appliquons la fonction \(\ln\) :
\[ \ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) = \ln\left(1 – \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) \]
En utilisant le développement limité \(\ln(1+x) = x + o(x)\) au voisinage de \(0\), on obtient :
\[ \ln(u_{n+1}) – \ln(u_n) = -\frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Sommation et équivalents
Sommons cette égalité de \(k=1\) à \(n-1\) :
\[ \sum_{k=1}^{n-1} (\ln(u_{k+1}) – \ln(u_k)) = -\alpha \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{n-1} o\left(\frac{1}{k}\right) \]
Par télescopage à gauche et en utilisant l’équivalent des sommes partielles de la série harmonique (\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \ln(n)\)), on a :
\[ \ln(u_n) – \ln(u_1) = -\alpha \ln(n) + o(\ln(n)) \]
Soit :
\[ \ln(u_n) = -\alpha \ln(n) + o(\ln(n)) \]
En effet, toute constante est négligeable devant une fonction qui tend vers l’infini (ici \(ln(u_1)\)). On a donc que \(ln(u_1)\) est un petit \(o\) de \(ln(n)\).
Remarque : l’équivalent des sommes partielles de la série harmonique n’est pas directement au programme, mais fait l’objet d’un immense nombre d’exercices, tant dans des sujets Ecricome, EDHEC, EMLyon ou dans des parties préliminaires de sujets de Maths I ou II.
Conclusion par comparaison
En passant à l’exponentielle :
\[ u_n = \exp\left(-\alpha \ln(n) + o(\ln(n))\right) = \frac{1}{n^{\alpha + \epsilon_n}} \text{ où } \epsilon_n \to 0 \]
- Si \(\alpha > 1\), on choisit \(\beta \in ]1, \alpha[\). Pour \(n\) assez grand, \(u_n \leq \frac{1}{n^\beta}\), d’où la convergence par Riemann.
- Si \(\alpha < 1\), on choisit \(\beta \in ]\alpha, 1[\). Pour \(n\) assez grand, \(u_n \geq \frac{1}{n^\beta}\), d’où la divergence par Riemann.
Application à la série de Wallis
Reprenons \(u_n = \frac{1 \cdot 3 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \dots (2n)}\).
Le quotient est :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n+1}{2n+2} = \frac{2n(1 + \frac{1}{2n})}{2n(1 + \frac{1}{n})} = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 – \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) \]
En développant :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1/2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Ici, \(\alpha = 1/2\). Puisque \(\alpha < 1\), la série diverge.
La règle de Raabe-Duhamel nous permet donc de conclure très rapidement sur la convergence de la série de Wallis, ce qui aurait été beaucoup plus long en se restreignant aux outils du programme.
Deux exercices supplémentaires d’application
Exemple 1 : la série des coefficients binomiaux centraux
On s’intéresse à la série de terme général \( u_n = \frac{{2n \choose n}}{4^n} \). Étudier la convergence de cette série.
Éléments de réponse
En utilisant la définition factorielle du coefficient binomial \( {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \), on obtient le rapport de deux termes consécutifs :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{{2n+2 \choose n+1}}{4^{n+1}} \times \frac{4^n}{{2n \choose n}} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \times \frac{(n!)^2}{(2n)!} \times \frac{1}{4}
\]
Après simplification des factorielles en utilisant les relations \( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \) et \( (n+1)! = (n+1)n! \), on trouve :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \times \frac{1}{4} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{4(n+1)^2} = \frac{2n+1}{2(n+1)}
\]
Soit, finalement :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n+1}{2n+2}
\]
Développement limité
On effectue une factorisation par le terme prépondérant \(2n\) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n\left(1 + \frac{1}{2n}\right)}{2n\left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1} \]
En utilisant le développement usuel \((1+x)^{-1} = 1 – x + o(x)\) quand \(x \to 0\) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 – \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) = 1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Ici, \(\alpha = 1/2\). Puisque \(\alpha < 1\), la règle de Raabe-Duhamel indique que la série \(\sum u_n\) diverge.
Exemple 2 : une série hypergéométrique
Considérons la série définie pour \(a > 0\) par le terme général :
\[ u_n = \frac{n!}{(a+1)(a+2)\dots(a+n)} \]
Calcul du quotient
Par simplification immédiate du produit (télescopage) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1} (a+k)} \times \frac{\prod_{k=1}^{n} (a+k)}{n!} = \frac{n+1}{n+1+a} \]
Développement limité
On factorise par \(n+1\) au numérateur et au dénominateur pour faire apparaître une forme \(1/(1+x)\) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{(n+1)\left(1 + \frac{a}{n+1}\right)} = \left(1 + \frac{a}{n+1}\right)^{-1} \]
Comme \(\frac{a}{n+1} = \frac{a}{n(1+1/n)} = \frac{a}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\), on obtient par développement limité :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 – \frac{a}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Le paramètre de convergence est \(\alpha = a\). D’après la règle de Raabe-Duhamel, la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(a > 1\).
Conclusion
En définitive, la règle de Raabe-Duhamel est un classique de l’analyse des séries parmi les notions hors programme en prépa ECG et permet de gagner un temps considérable (ou d’intuiter la réponse que l’on doit prouver avec les outils vus en ECG) dans l’étude de la convergence des séries. Il n’y a plus qu’à croiser les doigts pour qu’une telle notion tombe désormais aux concours !
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