Tout sur la suite de Fibonacci : définition, formules et propriétés

La suite de Fibonacci est une série mathématique célèbre qui commence par les nombres 0 et 1, chaque terme suivant étant la somme des deux termes précédents. Explorez cette suite particulièrement fascinante (on la doit au mathématicien Leonardo Fibonacci) en raison de son apparition dans divers contextes, notamment la nature, où elle décrit des motifs tels que la spirale des coquillages et des galaxies. Une explication simple de cette suite mythique implique souvent l’exemple des lapins se reproduisant. De plus, la suite est étroitement liée au nombre d’or, une constante mathématique essentielle pour comprendre les proportions harmonieuses dans l’art et la nature. Cette introduction vise à explorer sa définition, ses différentes formules, ses propriétés ainsi que la méthode de calcul de cette suite mathématique et à en démontrer l’utilité et la beauté scientifique. La suite de Fibonacci est une notion hors programme ECG qui est très en vogue ces derniers temps et pourrait faire l’objet d’un sujet de maths aussi bien de province que de parisiennes…

La suite de Fibonacci expliquée en Français

En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. Elle commence par les nombres 0 et 1, puis se poursuit avec 1 (somme de 0 et 1), 2 (somme de 1 et 1), 3 (somme de 1 et 2), 5 (somme de 2 et 3), 8 (somme de 3 et 5), etc. Les termes de cette suite, c’est-à-dire les nombres apparaissant dans cette suite, sont appelés nombres de Fibonacci.

Le nombre d’or

La Suite de Fibonacci et le Nombre d’Or

Le Nombre d’Or

Le nombre d’or, souvent noté \(\varphi\), est une constante mathématique irrationnelle qui satisfait l’équation quadratique suivante :
\[ \varphi^2 – \varphi – 1 = 0. \]Les solutions de cette équation sont :
\[ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887, \]
et
\[ \varphi’ = \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \approx -0.6180339887. \]

Quelques propriétés du nombre d’or incluent :
1. \(\varphi – 1 = \frac{1}{\varphi}\),
2. \(\varphi^2 = \varphi + 1\),

Limite de la suite de Fibonacci et nombre d’or

Il existe un lien remarquable entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Lorsque \(n\) tend vers l’infini, le rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’or :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi. \]

Cette relation met en évidence le lien profond entre cette suite et le nombre d’or, en démontrant que la structure de la suite est intrinsèquement liée à cette constante mathématique fascinante. Cette limite peut se démontrer grâce la formule de Binet.

La relation de récurrence de Fibonacci : une suite linéaire d’ordre 2

La récurrence de Fibonacci est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Cela signifie que chaque terme de la suite est une combinaison linéaire des deux termes précédents. En termes mathématiques, la relation de récurrence peut être exprimée comme suit :

\[
F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
\]

Cette relation est dite d’ordre 2, car elle implique deux termes précédents pour déterminer le terme actuel. Une autre caractéristique clé de cette récurrence est sa linéarité, c’est-à-dire que les coefficients des termes précédents sont des constantes (ici, 1 pour \( F_{n-1} \) et \( F_{n-2} \)).

Pour mieux comprendre cette récurrence, analysons-la en détail et découvrons comment elle nous conduit à une découverte fascinante : le nombre d’or.

Résolution de la récurrence et apparition du nombre d’or

Pour résoudre la récurrence de Fibonacci, on cherche une solution générale sous la forme \( F_n = r^n \), où \( r \) est une constante à déterminer. Substituons cette forme dans l’équation de récurrence :

\[
r^n = r^{n-1} + r^{n-2}
\]

En simplifiant, on obtient :

\[
r^n – r^{n-1} – r^{n-2} = 0
\]

En divisant par \( r^{n-2} \) (étant donné que \( r \neq 0 \)), on a :

\[
r^2 – r – 1 = 0
\]

Cette équation quadratique est appelée l’équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci. Les solutions de cette équation sont :

\[
r_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Les deux solutions \( \displaystyle r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) et \( \displaystyle r_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \) sont les racines caractéristiques de la récurrence. La première racine \( r_1 \) est connue sous le nom de nombre d’or, souvent noté \( \varphi \) (phi), qui vaut environ 1,618. La seconde racine, \( r_2 \), est son inverse, souvent noté \( \overline{\varphi} \), qui est un nombre négatif d’une valeur absolue inférieure à 1.

La solution générale de la récurrence est donc une combinaison linéaire des puissances de ces racines :

\[
F_n = A \cdot \varphi^n + B \cdot \overline{\varphi}^n
\]

Où \( A \) et \( B \) sont des constantes déterminées par les conditions initiales \( F_0 \) et \( F_1 \). En utilisant ces conditions, on trouve que \( \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{5}} \) et \( \displaystyle B = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).

Ainsi, la formule explicite pour les termes de la suite de Fibonacci est :

\[
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^n – \overline{\varphi}^n \right)
\]

Cette formule que nous venons d’obtenir grâce à la relation de récurrence qui définit la suite de Fibonacci est connue sous le nom de Formule de Binet.

Ce résultat montre comment la simple règle de récurrence de Fibonacci est intimement liée au nombre d’or, une constante qui apparaît fréquemment dans la nature et l’art.

Une perspective matricielle sur la récurrence de Fibonacci

Pour approfondir la compréhension de la récurrence de Fibonacci, on peut la reformuler en termes de matrices, ce qui offre une nouvelle perspective sur sa dynamique. Considérons un vecteur colonne \( \mathbf{u}_n = \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix} \). La relation de récurrence peut alors s’exprimer par le produit matriciel suivant :

\[
\mathbf{u}_{n+1} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{u}_n
\]

Ici, \( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) est la matrice de transition associée à la suite de Fibonacci. Cette formulation permet d’analyser l’évolution de la suite en examinant les propriétés de cette matrice.

Pour explorer la dynamique de la suite, nous cherchons les valeurs propres de \( \mathbf{M} \). Ces valeurs propres \( \lambda_1 \) et \( \lambda_2 \) sont les solutions de l’équation caractéristique de \( \mathbf{M} \) :

\[
\det(\mathbf{M} – \lambda \mathbf{I}) = 0
\]

Cela donne l’équation quadratique suivante :

\[
\lambda^2 – \lambda – 1 = 0
\]

Les solutions de cette équation, \( \displaystyle \lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) et \( \displaystyle \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \), correspondent respectivement au nombre d’or \( \varphi \) et à son conjugué \( \overline{\varphi} \).

La valeur propre \( \lambda_1 = \varphi \), qui est positive et plus grande que 1, domine le comportement asymptotique de la suite, tandis que \( \lambda_2 = \overline{\varphi} \) est plus petite en valeur absolue et tend vers 0 au fur et à mesure que \( n \) augmente. Par conséquent, à long terme, les termes de la suite de Fibonacci croissent approximativement comme une puissance du nombre d’or \( \varphi^n \).

Cette analyse matricielle illustre comment la structure interne de la récurrence de Fibonacci est intrinsèquement liée aux propriétés algébriques du nombre d’or. En utilisant les outils de l’algèbre linéaire, on met en évidence le rôle fondamental que joue cette constante dans l’évolution de la suite, offrant ainsi une perspective plus profonde sur la nature de cette récurrence.

Pourquoi la récurrence de Fibonacci est partout

La règle selon laquelle chaque terme est la somme des deux précédents a une conséquence fascinante : elle engendre une croissance qui reflète des structures naturelles efficaces. Le fait que la suite de Fibonacci soit présente dans tant de contextes s’explique par la nature même de cette récurrence.

Lorsque les termes sont ajoutés pour former les suivants, chaque nouveau terme porte en lui une partie de l’histoire des termes précédents, ce qui crée une structure autosimilaire. C’est cette propriété qui explique pourquoi on retrouve la suite de Fibonacci dans les spirales des coquillages, la disposition des feuilles sur une tige et même dans certains motifs de croissance des populations.

En effet, dans ces contextes, la croissance optimale est souvent dictée par des contraintes, où chaque élément doit s’ajuster en fonction des éléments précédents, tout en maximisant l’efficacité et l’utilisation de l’espace. La suite de Fibonacci, avec sa relation de récurrence simple mais puissante, offre un modèle idéal pour de tels phénomènes.

La Formule de Binet et ses liens avec la suite de Fibonacci

La formule de Binet est une expression explicite pour le \(n\)-ième terme de la suite de Fibonacci. Elle permet de calculer directement un terme de la suite sans avoir besoin de connaître les termes précédents. La formule de Binet est donnée par :
\[ F_n = \frac{\varphi^n – (1 – \varphi)^n}{\sqrt{5}}, \]
où \(\varphi\) est le nombre d’or, soit \(\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), et \((1 – \varphi)\) est son conjugué, soit \(\displaystyle \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\).

Cette formule découle de la résolution de l’équation caractéristique de la relation de récurrence de la suite de Fibonacci. En effet, puisque \(F_n\) satisfait l’équation de récurrence \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\) on peut utiliser les racines de l’équation caractéristique associée, \(x^2 – x – 1 = 0\), pour obtenir une solution de la forme :
\[ F_n = A \varphi^n + B (1 – \varphi)^n, \]
où \(A\) et \(B\) sont des constantes déterminées par les conditions initiales de la suite.

En utilisant les valeurs initiales \(F_0 = 0\) et \(F_1 = 1\), on trouve que \(\displaystyle  A = \frac{1}{\sqrt{5}}\) et \(\displaystyle  B = -\frac{1}{\sqrt{5}}\). Ainsi, la formule de Binet devient :
\[ F_n = \frac{\varphi^n – (1 – \varphi)^n}{\sqrt{5}}. \]

Cette formule est particulièrement utile car elle permet de calculer rapidement des termes élevés de la suite de Fibonacci sans avoir à effectuer tous les calculs intermédiaires, mettant en lumière l’élégance et l’efficacité des méthodes analytiques en mathématiques.

Calcul de la suite de Fibonacci en Python

Pour calculer le \(n\)-ième terme de la suite de Fibonacci en utilisant une boucle “for” en Python, nous pouvons écrire un programme simple qui itère à partir des termes initiaux \(F_0\) et \(F_1\). Voici un exemple de code Python :

Lien avec entre la suite de Fibonacci et la Suite de Lucas

La suite de Lucas est une autre suite définie de manière similaire à la suite de Fibonacci, mais avec des conditions initiales différentes. Elle commence par les nombres 2 et 1, et chaque terme suivant est également la somme des deux termes précédents. Formellement, la suite de Lucas \((L_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est définie par : \( L_0 = 2, \) \( L_1 = 1, \)
\[ L_n = L_{n-1} + L_{n-2} \text{ pour } n \geq 2. \]

Les deux suites partagent de nombreuses propriétés et sont souvent étudiées ensemble en raison de leurs similitudes structurelles et de leur lien avec le nombre d’or.

Propriété matricielle de la suite de Fibonacci : les matrices de Fibonacci

L’expression matricielle de la suite de Fibonacci offre une méthode élégante pour représenter et calculer les termes de la suite en utilisant les matrices. À partir de la relation de récurrence \( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \), nous pouvons écrire les matrices de Fibonacci :

\[ \begin{pmatrix}
F_{n+1} \\
F_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
F_n \\
F_{n-1}
\end{pmatrix}. \]

En itérant cette relation, nous obtenons une forme matricielle générale :

\[ \begin{pmatrix}
F_n \\
F_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
F_1 \\
F_0
\end{pmatrix}. \]

Cela permet d’écrire les termes de la suite de Fibonacci en termes de puissances de matrices. Plus précisément, nous avons :

\[ \begin{pmatrix}
F_{n+1} \\
F_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}. \]

Cette formulation matricielle est utile car elle permet d’utiliser des techniques algébriques et numériques pour calculer rapidement les termes de la suite de Fibonacci. Elle met en lumière la structure linéaire de la suite et offre une perspective différente et puissante pour son étude et son calcul.

A noter qu’on retrouve également une notion autour des polynômes de Fibonacci.

Polynômes de Fibonacci

Généralisations de la suite de Fibonacci (les suites k-bonacci)

La suite de Fibonacci n’est qu’un début de concept qui n’a cessé d’intriguer les mathématiciens… En effet, il existe des généralisations de cette suite qui permettent d’explorer des structures mathématiques plus riches et diversifiées. Cette partie se propose de présenter plusieurs généralisations de la suite de Fibonacci, en détaillant leurs propriétés et leurs applications. Nous examinerons la suite de Lucas, les \(k\)-suites de Fibonacci (aussi appelées les suites de \(k\)-bonacci) et les suites de Fibonacci généralisées à partir de relations de récurrence plus complexes.

Extension aux entiers négatifs

À l’aide de la relation \( F_{n-2} = F_n – F_{n-1} \), on peut étendre la suite de Fibonacci à des indices entiers négatifs. On obtient la suite :

\[
\ldots, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots
\]

qui vérifie : \( F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n \).

Augmentation de l’ordre de la récurrence

Une suite de type Fibonacci d’ordre \( p \), ou suite de \( p \)-bonacci, est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme à partir du \( p+1 \)-ième est la somme des \( p \) précédents (le cas classique est \( p = 2 \)).

Exemples et propriétés

1. Tribonacci (p=3) :

\[
T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}
\]

avec \( T_0 = 0, T_1 = 0, T_2 = 1 \).

2. Tetranacci (p=4) :

\[
Tet_n = Tet_{n-1} + Tet_{n-2} + Tet_{n-3} + Tet_{n-4}
\]

avec \( Tet_0 = 0, Tet_1 = 0, Tet_2 = 0, Tet_3 = 1 \).

Propriétés des \(k\)-suites de Fibonacci (ou les suites de \(k\)-bonacci)

Les \(k\)-suites de Fibonacci présentent des propriétés intéressantes, notamment en termes de croissance. Comme pour la suite de Fibonacci classique, les termes des \(k\)-suites de Fibonacci croissent de manière exponentielle, mais avec un taux de croissance plus élevé.

La formule de Binet généralisée pour les \(k\)-suites de Fibonacci peut être exprimée à l’aide des racines du polynôme caractéristique :

\[
x^k – x^{k-1} – x^{k-2} – \cdots – x – 1 = 0
\]

Les solutions de cette équation caractéristique donnent les valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k\). La formule de Binet généralisée est alors :

\[
F_n^{(k)} = a_1 \lambda_1^n + a_2 \lambda_2^n + \cdots + a_k \lambda_k^n
\]

où \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) sont des coefficients déterminés par les conditions initiales.

Modification des coefficients de la récurrence

En reprenant les notations des suites de Fibonacci, on peut considérer les suites \( (u_n) \) vérifiant \( u_{n+2} = p u_{n+1} – q u_n \) où \( p \) et \( q \) sont des entiers fixés. Elles sont toutes des combinaisons linéaires des deux suites de base \( (U_n) \), \( (V_n) \) définies par :

\[
U_0 = 0, \quad U_1 = 1, \quad U_{n+2} = p U_{n+1} – q U_n
\]
\[
V_0 = 2, \quad V_1 = p, \quad V_{n+2} = p V_{n+1} – q V_n
\]

Pour \( p = 1, q = -1 \), \( U_n = F_n \) et \( V_n = L_n \), où \( L_n \) est la suite de Lucas.

Lorsque \( q = -1 \), la suite \( (U_n) \) est appelée \( p \)-suite de Fibonacci et c’est aussi la valeur en \( p \) du polynôme de Fibonacci d’indice \( n \).

Exemples de suites généralisées

1. La 2-suite de Fibonacci (suite de Pell) :

\(
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, \ldots
\)

2. La 3-suite de Fibonacci :

\(
0, 1, 3, 10, 36, 136, 528, 2080, \ldots
\)

3. La 4-suite de Fibonacci :

\(
0, 1, 4, 15, 64, 280, 1260, 5736, \ldots
\)

Aller plus loin sur la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est à l’origine de nombreuses recherches et nombreux problèmes mathématiques. Pour y voir plus clair, voici une cartographie de l’ensemble des recherches tournant autour de la suite de Fibonacci (et du nombre d’or) :

Un autre type de généralisation de la suite de Fibonacci est également à découvrir ! Il s’agit de la suite de Fibonacci aléatoire. Elle pourrait clairement faire l’objet d’un sujet de maths parisienne dans les années à venir…

Le triangle de Pascal – et ses liens avec Fibonacci

Conclusion

La suite de Fibonacci révèle une richesse mathématique impressionnante, avec des liens profonds avec le nombre d’or, une constante irrationnelle célèbre pour ses propriétés esthétiques et naturelles. Grâce à la formule de Binet, nous pouvons calculer efficacement les termes de la suite, démontrant l’élégance des méthodes analytiques en mathématiques. L’expression matricielle nous a offert une autre perspective puissante pour comprendre et manipuler cette suite.

L’omniprésence de la suite de Fibonacci dans la nature, des spirales des coquillages aux galaxies, met en lumière l’importance de ces concepts mathématiques. En maîtrisant ces méthodes et relations, nous pouvons mieux apprécier la beauté et l’utilité des mathématiques dans le monde qui nous entoure.

Ainsi, bien que cette notion soit hors programme, la compréhension approfondie de cette dernière te permettra d’améliorer des compétences en analyse et en algèbre linéaire te préparant donc pour les épreuves écrites et orales. Pour t’entraîner sur cette notion, tu peux réaliser les sujets suivants :

• Ecricome 2018 (mathématiques approfondies),
• Maths 1 HEC 2009 (mathématiques appliquées),
• la première Question Sans Préparation des Oraux HEC 2023.

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