En analyse, démontrer la convergence d’une suite exige en général de connaître ou de deviner sa limite. Or, dans de nombreux problèmes de concours, la limite n’est pas connue a priori. Le critère de Cauchy résout élégamment cette difficulté : il permet de prouver qu’une suite converge en étudiant uniquement le comportement de ses termes entre eux, sans aucune hypothèse sur la valeur de la limite. Cet article définit les suites de Cauchy, démontre l’équivalence entre convergence et caractère de Cauchy dans \( \mathbb{R} \), puis illustre l’utilité de ce critère par des applications classiques aux suites et aux séries.
Définition
Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite réelle. On dit que \( (u_n) \) est une suite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang.
Formellement :
\[ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad \forall m \geq N, \quad |u_n – u_m| < \varepsilon. \]
Cette définition ne fait intervenir aucune limite. Elle exprime uniquement une propriété interne de la suite : les termes se « resserrent » lorsque les indices deviennent grands. On peut reformuler cette condition de manière équivalente en écrivant, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe \( N \in \mathbb{N} \) tel que pour tout \( n \geq N \) et tout \( p \in \mathbb{N} \), on a \( |u_{n+p} – u_n| < \varepsilon \).
Toute suite convergente est de Cauchy
Ce sens de l’implication est le plus simple. Soit \( (u_n) \) une suite convergente de limite \( \ell \in \mathbb{R} \). Montrons qu’elle est de Cauchy.
Soit \( \varepsilon > 0 \). Par définition de la convergence, il existe \( N \in \mathbb{N} \) tel que pour tout \( n \geq N \), on a \( \displaystyle |u_n – \ell| < \frac{\varepsilon}{2} \). Alors, pour tous \( n, m \geq N \), l’inégalité triangulaire donne :
\[ |u_n – u_m| = |u_n – \ell + \ell – u_m| \leq |u_n – \ell| + |u_m – \ell| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Ainsi \( (u_n) \) est bien de Cauchy. Ce résultat est intuitif : si tous les termes se rapprochent d’une même valeur \( \ell \), ils se rapprochent nécessairement les uns des autres.
Toute suite de Cauchy est bornée
Avant de démontrer la réciproque, établissons un résultat intermédiaire fondamental : toute suite de Cauchy est bornée.
Soit \( (u_n) \) une suite de Cauchy. En prenant \( \varepsilon = 1 \) dans la définition, il existe \( N \in \mathbb{N} \) tel que pour tous \( n, m \geq N \), on a \( |u_n – u_m| < 1 \). En particulier, pour tout \( n \geq N \), on a \( |u_n – u_N| < 1 \), soit \( |u_n| < |u_N| + 1 \).
En posant \( M = \max(|u_0|, |u_1|, \ldots, |u_{N-1}|, |u_N| + 1) \), on obtient \( |u_n| \leq M \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). La suite \( (u_n) \) est donc bornée.
Ce résultat est l’analogue, pour les suites de Cauchy, du théorème affirmant que toute suite convergente est bornée. La preuve suit d’ailleurs exactement la même stratégie.
Toute suite de Cauchy converge (théorème de Cauchy)
C’est le résultat central. Il repose sur la propriété de la borne supérieure de \( \mathbb{R} \), c’est-à-dire sur la complétude de \( \mathbb{R} \).
Théorème. Dans \( \mathbb{R} \), une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.
Démontrons que toute suite de Cauchy réelle converge. Soit \( (u_n) \) une suite de Cauchy. D’après le résultat précédent, elle est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass (qui n’est pas au programme d’ECG), on peut en extraire une sous-suite convergente \( (u_{\varphi(n)}) \) de limite \( \ell \).
Montrons que la suite entière converge vers \( \ell \). Soit \( \varepsilon > 0 \). Puisque \( (u_n) \) est de Cauchy, il existe \( N_1 \in \mathbb{N} \) tel que pour tous \( n, m \geq N_1 \), on a \( \displaystyle |u_n – u_m| < \frac{\varepsilon}{2} \). Puisque \( u_{\varphi(n)} \to \ell \), il existe \( N_2 \in \mathbb{N} \) tel que pour tout \( n \geq N_2 \), on a \( \displaystyle |u_{\varphi(n)} – \ell| < \frac{\varepsilon}{2} \).
Posons \( N = \max(N_1, N_2) \). Pour tout \( n \geq N \), en choisissant un indice \( k \geq N \) tel que \( \varphi(k) \geq N \) (ce qui est possible car \( \varphi \) est strictement croissante), on obtient :
\[ |u_n – \ell| \leq |u_n – u_{\varphi(k)}| + |u_{\varphi(k)} – \ell| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Donc : \( u_n \to \ell \).
Application aux séries
Le critère de Cauchy s’applique particulièrement bien aux séries. Une série \( \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n \) converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles \( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k \) est de Cauchy.
Or, pour \( m > n \) :
\[ |S_m – S_n| = |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m|. \]
Le critère de Cauchy pour les séries s’écrit donc : la série \( \displaystyle \sum a_n \) converge si et seulement si pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe \( N \in \mathbb{N} \) tel que pour tous \( m > n \geq N \) :
\[ |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| < \varepsilon. \]
En prenant \( m = n \) dans la condition de Cauchy (ou \( m = n+1 \) dans la version série), on retrouve immédiatement la condition nécessaire de convergence : si \( \displaystyle \sum a_n \) converge, alors \( a_n \to 0 \).
Application : convergence d’une suite récurrente
Considérons la suite définie par \( u_0 = 0 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[ u_{n+1} = u_n + \frac{(-1)^n}{2^n}. \]
On remarque que \( u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2^k} \). Pour montrer la convergence, on utilise le critère de Cauchy. Pour \( m > n \) :
\[ |u_m – u_n| = |a_{n} + a_{n+1} + \cdots + a_{m-1}| \leq \sum_{k=n}^{m-1} \frac{1}{2^k} \leq \frac{1}{2^{n-1}}. \]
La dernière majoration provient de la somme d’une série géométrique de raison \( \displaystyle \frac{1}{2} \). Pour tout \( \varepsilon > 0 \), il suffit de choisir \( N \) tel que \( \displaystyle \frac{1}{2^{N-1}} < \varepsilon \). La suite \( (u_n) \) est donc de Cauchy, et par conséquent convergente. On n’a jamais eu besoin de calculer la limite pour établir la convergence.
Travailler la suite de Cauchy
Si tu veux travailler cette suite de Cauchy, voilà un sujet de concours où tu peux la retrouver :
- MATHS EMLYON APPRO 1982 (Problème 1)
Conclusion
Le critère de Cauchy est un outil puissant qui permet de démontrer la convergence d’une suite sans connaître sa limite. Son équivalence avec la convergence dans \( \mathbb{R} \) repose sur le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Pour les concours, le réflexe est le suivant : lorsqu’un énoncé demande de prouver la convergence d’une suite ou d’une série dont la limite n’est pas identifiable, il faut penser au critère de Cauchy. En pratique, on majore \( |u_m – u_n| \) par une quantité qui tend vers zéro indépendamment de \( m \), souvent à l’aide d’une série géométrique ou d’une série de Riemann convergente.
