Le théorème (ou lemme) de Riemann-Lebesgue est un résultat puissant en intégration souvent mobilisé dans les sujets de type EM/EDHEC (notamment lors des concours 2025), dont il peut être utile de connaître pour se préparer au mieux. Ce résultat, assez simple à démontrer, ne sera en revanche intéressant qu’en maths approfondies, puisqu’il convoque les fonctions trigonométriques. Voyons donc cette propriété avant de la démontrer, de l’interpréter avec des graphiques et des exemples, et de lui donner un sens en Python.
Énoncé (version restreinte réelle)
Soit \(f \in C^1([a,b])\). Alors, pour \(n\to\infty\) :
\[
\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx \to 0,
\qquad
\int_a^b f(x)\sin(nx)\,dx \to 0.
\]
Pour mémoire, mentionnons l’énoncé classique du lemme, qui utilise les nombres complexes et donc qui ne risque pas de tomber aux écrits ou aux oraux en prépa ECG.
Soit \(f\) une fonction intégrable sur \(\mathbb{R}\).
Alors, on a :
\[
\lim_{|\xi| \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-i\xi x} dx = 0.
\]
Nous ne nous intéresserons dans la suite de cet article qu’à la version restreinte de ce lemme, puisque les nombres complexes sont hors programme.
Preuve (par intégration par parties)
La preuve de ce lemme est assez accessible (ce qui en fait une question classique sur des sujets assez abordables). On applique une intégration par parties, puis un théorème des gendarmes pour conclure. Attention cependant à bien choisir les valeurs de \(u(x)\) et \(v'(x)\), comme tu le verras par la suite.
Cas \(\cos(nx)\)
Posons \(u(x)=f(x)\) et \(dv=\cos(nx)\,dx\). Alors \(du=f'(x)\,dx\) et \(v=\frac{\sin(nx)}{n}\). On obtient :
\[
\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx
= \left[f(x)\frac{\sin(nx)}{n}\right]_a^b
– \frac{1}{n}\int_a^b f'(x)\sin(nx)\,dx.
\]
D’où la majoration (car on a ici majoré la fonction sinus par \(1\) et on a appliqué la version classique de l’inégalité triangulaire) :
\[
\left|\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx\right|
\le \frac{|f(a)|+|f(b)|}{n}+\frac{1}{n}\int_a^b |f'(x)|\,dx.
\]
Comme l’intégrale suivante est bien définie (pour rappel : \(f \in C^1([a,b])\) donc \(f’ \in C([a,b])\). Cela signifie donc finalement qu’il existe un réel \(K\) tel que :
\(\left|\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx\right| \le \frac{K}{n}\)
Cas \(\sin(nx)\)
Dans le cas du sinus, on procède exactement de la même manière.
Posons \(u(x)=f(x)\) et \(v'(x)=\sin(nx)\,dx\). Alors \(v(x)=-\frac{\cos(nx)}{n}\) et
\[
\int_a^b f(x)\sin(nx)\,dx
= -\left[f(x)\frac{\cos(nx)}{n}\right]_a^b
+ \frac{1}{n}\int_a^b f'(x)\cos(nx)\,dx.
\]
On obtient encore une majoration en \(O(1/n)\) qui assure la convergence vers \(0\) de l’intégrale par application du théorème des gendarmes.
Astuce : il faut se rappeler de toujours primitiver la fonction trigonométrique afin de faire apparaître une fraction avec \(n\) en dénominateur (pour que le tout converge vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers \(+ \infty\)).
Interprétation
Idée intuitive
Les fonctions \(\cos(nx)\) et \(\sin(nx)\) oscillent de plus en plus vite avec \(n\). Ainsi, en multipliant par \(f\), les aires positives et négatives se compensent rapidement. L’intégrale « s’efface » à mesure que la fréquence croît.
Illustrations graphiques
Posons d’abord \(f(x)=1\) puis \(f(x)=e^x\) et étudions la fonction qui à \(x\) associe \(f(x)cos(nx)\), et ce, pour des valeurs de \(n\) de plus en plus grandes.
Ainsi, on constate que, pour de grandes valeurs de \(n\), les oscillations sont de plus en plus rapides. Donc, la valeur de l’intégrale de cette fonction se compense de plus en plus rapidement entre ses valeurs positives et négatives, de sorte que la valeur de l’intégrale totale tende vers 0.
Mais il en est de même en posant \(f(x)=e^x\) :
On constate simplement ici que les oscillations sont de plus en plus grandes (influence de l’exponentielle), mais ces dernières sont encore une fois de plus en plus rapides. La valeur finale de l’intégrale tend bien vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers \(+ \infty\).
Script Python (illustration numérique)
Voici une illustration du phénomène décrit par le lemme de Riemann-Lebesgue à l’aide d’un script Python (un peu long certes), mais qui a le mérite de permettre de montrer graphiquement que l’intégrale nommée I(n) converge vers 0.
On calcule numériquement :
\[
I(n)=\int_0^1 e^x \cos(n\pi x)\,dx\]
Puis on compare \(|I(n)|\) à la borne issue de l’intégration par parties : \(\frac{2e}{n\pi}\) que l’on aura déterminé à la main :
On obtient alors le résultat suivant :
On observe ainsi que la valeur de l’intégrale tend vers \(0\) pour de grandes valeurs de \(n\). D’ailleurs, on remarque que la borne supérieure de l’encadrement n’est pas optimale (voir la différence entre les deux courbes). On constate également la présence des oscillations de la courbe orange qui diminue pour de grandes valeurs de \(n\).
Les graphes obtenus montrent clairement que \(|I(n)|\) tend vers \(0\) et décroît comme \(O(1/n)\), conformément au théorème.
Conclusion
Le lemme de Riemann-Lebesgue est un grand classique des sujets EMLYON/EDHEC qu’il convient de maîtriser pour aborder cette épreuve le plus sereinement possible, quand bien même ce résultat est parfaitement hors programme. Il n’est pas rare que les sujets demandent la démonstration entière de ce résultat, en passant par l’intégration par parties, comme vu précédemment. Le sujet EMLYON 2005 voie approfondie demande à cet égard la démonstration de ce théorème dans la deuxième partie.
Voilà, il n’y a désormais plus qu’à espérer qu’un tel sujet tombe l’année prochaine !
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