Le théorème de Sturm est une méthode qui permet systématiquement de déterminer le nombre de racines d’un polynôme sur un intervalle donné à partir du calcul de sa dérivée et du reste de la division euclidienne entre des polynômes déduits du polynôme initial. Si cela te semble encore bien flou, pas de panique : commençons à détailler cette méthode bien utile !
Préambule
En 1815, Cauchy (dont tu as sûrement déjà entendu parler) a construit une méthode permettant de calculer le nombre de racines d’un polynôme sur un intervalle donné (et ce, pour n’importe quel polynôme). Mais cette méthode était trop longue à mettre en place et a donc cédé sa place au théorème de Sturm, établi 14 ans plus tard !
Explication du théorème
Pour parvenir à déterminer le nombre de racines d’un polynôme sur un intervalle donné, on construit une suite de polynômes, appelée « série de Sturm », et on utilise les changements de signes de cette suite aux bornes de l’intervalle pour compter les racines réelles.
Cette série de Sturm étant définie ainsi :
Soit \( P(x) \) un polynôme de degré \( n \), et \( P'(x) \) sa dérivée. La série de Sturm est la suite de polynômes \( P_0(x), P_1(x), \dots, P_n(x) \) définie de la manière suivante :
\( P_0(x) = P(x) \)
\( P_1(x) = P'(x) \)
Pour \( k \geq 1 \), les polynômes \( P_{k+1}(x) \) sont obtenus par la division euclidienne de \( P_{k-1}(x) \) par \( P_k(x) \), et en prenant le reste du quotient avec un signe négatif :
\[
P_{k+1}(x) = -R(P_{k-1}(x), P_k(x))
\]
Cette suite de polynômes satisfait certaines propriétés importantes, comme le fait que les racines des polynômes dans la suite sont alternées sur les intervalles définis par les racines de \( P \). La suite se termine lorsque le reste devient nul (lorsque les polynômes sont divisibles).
Procédons ainsi en quatre étapes claires.
Étape 1 : Calculer la dérivée du polynôme
Soit \( P \) un polynôme de degré \( n \) et \( P’ \) sa dérivée. La suite de Sturm commence par \( P_0(x) = P(x) \) et \( P_1(x) = P'(x) \).
On calcule donc la dérivée du polynôme dont on cherche à connaître le nombre de racines (jusqu’à là, c’est ok normalement).
Étape 2 : Construire le reste de la suite de Sturm
Il y a ici deux cas : si on a un polynôme de degré 1, la suite de Sturm ne contient que deux éléments. Il sera donc inutile de calculer une quelconque division euclidienne, puisque la suite de Sturm sera déjà complétée. Mais tel ne sera pas le cas généralement et voilà donc comment poursuivre.
Pour construire la suite de Sturm, nous devons utiliser ensuite la division euclidienne pour calculer les polynômes suivants. Attention : pour chaque division, le reste de la division est pris avec un signe négatif qu’il ne faut pas oublier :
\[
P_{k+1}(x) = – R(P_{k-1}(x), P_k(x))
\]
Où \(R(P(x),Q(x))\) est le reste de la division euclidienne de \(P\) par \(Q\).
Étape 3 : Calculer les valeurs de la suite aux bornes de l’intervalle
Une fois la suite de Sturm obtenue, on évalue chaque polynôme \( P_0(x), P_1(x), \dots, P_n(x) \) aux bornes de l’intervalle \( [a, b] \). On note les signes de chaque \( P_i(x) \) pour \( x = a \) et \( x = b \).
Étape 4 : Compter les changements de signes
Le nombre de racines réelles distinctes de \( P(x) \) dans \( [a, b] \) est donné par la différence entre le nombre \(N(a,b)\) de changements de signes des polynômes de la suite aux bornes \( x = a \) et \( x = b \) :
\[
N(a, b) = \text{changement}(a, P_0) – \text{changement}(b, P_0)
\]
Exemple détaillé
Si la méthode te semble encore un peu sombre, voici un exemple avec un polynôme de petit degré sur lequel nous allons appliquer la méthode de Sturm.
Prenons le polynôme \( P(x) = x^2 – 2x + 1 \) et déterminons le nombre de racines de ce polynôme dans l’intervalle \([-5;5]\). La réponse, tu la connais déjà, mais cet exemple avec un polynôme de degré 2 permet de ne calculer qu’un seul reste par division euclidienne, ce qui nous simplifie bien la vie.
Étape 1 : Calculer la dérivée du polynôme
La dérivée est \( P'(x) = 2x – 2 \).
Étape 2 : Construire le reste de la suite de Sturm
Comme le polynôme est de degré \(2\), on en déduit que la suite de Sturm contiendra \(2+1 = 2 \) éléments.
\(P_2\) est ainsi l’opposé du reste de la division euclidienne de \(P’\) par \(P\). Nous ne détaillerons pas ici la méthode de division euclidienne pour les polynômes qui n’est pas l’objet de cet article.
En l’espèce, on obtient \(P_2 (x) =1 \) (attention à ne pas oublier le “-“).
Petite astuce : on arrête de calculer des restes par division euclidienne dès qu’on atteint un polynôme de degré 0. C’est notre cas ici, on a donc notre série de Sturm complète.
Étape 3 : Calculer les valeurs de la suite aux bornes de l’intervalle
Pour le point -5, on obtient la série de Sturm : (36;-12;1) (calculé à partir de \(P(-5)\),\(P'(-5)\),\(P_2(-5)\))
Pour le point 5, on obtient la série de Sturm : (16;8;-1) (calculé à partir de \(P(5)\),\(P'(5)\),\(P_2(5)\)).
Étape 4 : Compter les changements de signes
Dans la liste obtenue avec le point \(x=-5\), il y a deux changements de signe entre les valeurs obtenues, tandis que dans la liste obtenue à partir du point d’abscisse \(x=5\), on a un unique changement.
On a donc N(-5;5) = 2-1 = 1. CQFD
Ainsi, on conclut que le polynôme s’annule une seule et unique fois sur l’intervalle \([-5;5]\).
Voici un aperçu graphique si cela peut t’aider à être convaincu de la méthode :
Calcul efficace de l’intervalle
Voici un théorème hors programme, extérieur au théorème de Sturm, qui peut néanmoins être utile à la méthode de Sturm pour déterminer un intervalle suffisamment large qui contienne toutes les racines du polynôme.
Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) défini par
\[
f(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0,
\]
où \( a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} \) et \( n \) un entier positif. Si \( z \) est un zéro de \( f \), alors
\[
|z| \leq \max\left( 1, \sum_{i=0}^{n-1} |a_i| \right).
\]
Ainsi, en notant \(M=\max( 1, \sum_{i=0}^{n-1} |a_i|)\), alors tu pourras appliquer la méthode de Sturm à l’intervalle \([-M;M]\).
Avantages/inconvénients du théorème
Avantages
- Fournit une méthode simple à appliquer pour déterminer le nombre de racines.
- Fonctionne avec tout polynôme, quel que soit son degré.
Inconvénients
- Ne fournit pas les abscisses des racines en question.
- Peut être long à mettre en place (par exemple, avec un polynôme de degré 10, on a neuf divisions euclidiennes à calculer…).
Conclusion
En définitive, le théorème de Sturm fournit une méthode simple, mais parfois longue à mettre en place pour déterminer le nombre de racines d’un polynôme quelconque sur un intervalle donné. Rajoutons aussi que la démonstration de cette méthode est trop longue pour être intéressante à être étudiée pour les écrits et les oraux en ECG.
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