Alors que les inégalités classiques, comme celles de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev, sont utilisées pour majorer la probabilité qu’une variable s’éloigne de sa moyenne (contrôle du risque), l’inégalité de Paley-Zygmund adopte une approche inverse. Elle sert à minorer la probabilité qu’une variable aléatoire soit suffisamment grande. C’est donc une inégalité qui se complète très bien aux inégalités de distributions qui sont au programme de prépa. Présentons donc cette inégalité, avant de voir les variantes de cette première présentation de l’inégalité. Enfin, nous nous exercerons sur une question type qui implique cette inégalité.
Présentation de l’inégalité
Proposition
Soit \(Z\) une variable aléatoire positive ou nulle (\(Z \geq 0\)) possédant un moment d’ordre 2 fini. Pour tout réel \(\theta \in [0, 1]\), on a :
\[\fbox{\(P(Z > \theta E(Z)) \geq (1 – \theta)^2 \frac{E(Z)^2}{E(Z^2)}\)}\]
Cas particulier
Pour \(\theta = 0\), on obtient une borne inférieure sur la probabilité que la variable soit strictement positive :
\[\fbox{\(P(Z > 0) \geq \frac{E(Z)^2}{E(Z^2)}\)}\]
Démonstration
Il existe bien évidemment de nombreuses manières de démontrer cette inégalité. Nous allons ici nous fonder sur une preuve qui fait intervenir l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
D’abord, on sépare l’espérance de \(Z\) selon que \(Z\) dépasse ou non le seuil \(\theta E(Z)\) en utilisant une variable indicatrice :
\[E(Z) = E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z \leq \theta E(Z)\}}) + E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z > \theta E(Z)\}})\] (seulement permis, car les évènements permettant de définir les variables indicatrices sont complémentaires de l’un et l’autre).
Maintenant, on va gérer chacun des deux termes de cette somme un à un.
Par définition de l’événement, \(Z \leq \theta E(Z)\) et, puisqu’une probabilité est toujours majorée par 1, on a :
\[E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z \leq \theta E(Z)\}}) \leq \theta E(Z) P(Z \leq \theta E(Z)) \leq \theta E(Z)\]
On traite le second terme \(E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z > \theta E(Z)\}})\) en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\[E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z > \theta E(Z)\}})^2 \leq E(Z^2) E(\mathbb{1}_{\{Z > \theta E(Z)\}}^2)\]
Comme l’espérance d’une indicatrice au carré est la probabilité de l’événement :
\[E(Z \cdot \mathbb{1}_{\{Z > \theta E(Z)\}}) \leq \sqrt{E(Z^2) P(Z > \theta E(Z))}\]
En réinjectant dans l’égalité initiale :
\[E(Z) \leq \theta E(Z) + \sqrt{E(Z^2) P(Z > \theta E(Z))}\]
\[(1-\theta)E(Z) \leq \sqrt{E(Z^2) P(Z > \theta E(Z))}\]
En élevant au carré et en isolant la probabilité, on retrouve la formule !
Extensions et variantes
Généralisation aux moments d’ordre \(p > 1\)
Si la variable \(Z\) possède des moments d’ordre supérieur, on peut affiner la minoration. Pour tout \(q > p > 0\), l’inégalité de Hölder permet d’obtenir une variante :
\[\fbox{\(P(Z > \theta E(Z)) \geq \left[ (1-\theta) \frac{E(Z^p)^{1/p}}{E(Z^q)^{1/q}} \right]^{\frac{pq}{q-p}}\)}\]
Nous ne nous attacherons pas à démontrer cette généralisation de l’inégalité, qui est plus longue que la démonstration précédente et sort du cadre de cet article.
La deuxième méthode des moments
L’extension la plus célèbre de l’inégalité de Paley-Zygmund utilise le cas limite \(\theta \to 0\) pour prouver que la VAR est non nulle certainement.
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires réelles. Si l’on montre que
- \(\lim \limits_{n \to +\infty}E(X_n) = +\infty\)
- \(Var(X_n) / E(X_n)^2 \to 0\) (ou de manière équivalente \(E(X_n^2) / E(X_n)^2 \to 1\))
Alors, d’après Paley-Zygmund, \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty}P(X_n > 0) = 1\)}\).
Démonstration
On utilise la définition de la variance pour exprimer \(E(X_n^2)\) :
\(Var(X_n) = E(X_n^2) – E(X_n)^2 \Rightarrow E(X_n^2) = E(X_n)^2 + Var(X_n)\)
En injectant cette expression dans le quotient de l’inégalité de Paley-Zygmund, on obtient \(\frac{E(X_n)^2}{E(X_n^2)} = \frac{E(X_n)^2}{E(X_n)^2 + Var(X_n)}\)
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(E(X_n)^2\), on a alors : \(\frac{E(X_n)^2}{E(X_n^2)} = \frac{1}{1 + \frac{Var(X_n)}{E(X_n)^2}}\)
D’après l’hypothèse 2, on sait que le rapport \(Var(X_n) / E(X_n)^2\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers l’infini. Par conséquent :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{Var(X_n)}{E(X_n)^2}} = \frac{1}{1 + 0} = 1\]
Puisque, d’une part, \(P(X_n > 0) \leq 1\) (c’est le principe même d’une probabilité) et que, d’autre part, d’après Paley-Zygmund et notre calcul limite :
\(\lim_{n \to \infty} P(X_n > 0) \geq 1\)
On en déduit par le théorème des gendarmes que :
\[\lim_{n \to \infty} P(X_n > 0) = 1\]
Question type pour s’exercer
Dispersion des marches aléatoires
Question
Soit \(S_n = \sum_{i=1}^n Y_i\) une loi de Rademacher. Pour rappel, la loi de Rademacher vérifie \(P(Y = 1) = \frac{1}{2}\) et \(P(Y = -1) = \frac{1}{2}\). Il s’agit, pour ta connaissance, d’une loi de probabilité hors programme, mais très souvent abordée dans les sujets EMLyon ou EDHEC !
On sait que \(E(S_n^2) = n\) et \(E(S_n^4) = 3n^2 – 2n\). Montrer que la marche a une probabilité non nulle de s’éloigner de l’origine d’au moins \(\frac{1}{2}\sqrt{n}\).
Éléments de réponse
Appliquons l’inégalité à \(Z = S_n^2\) (qui est positive) avec \(\theta = 1/4\).
On cherche \(P(|S_n| > \frac{1}{2}\sqrt{n})\), ce qui équivaut à \(P(S_n^2 > \frac{1}{4}n)\).
Ici \(\theta E(Z) = \frac{1}{4} E(S_n^2) = \frac{1}{4}n\).
Calcul du minorant :
\[P(S_n^2 > \frac{1}{4}n) \geq (1 – \frac{1}{4})^2 \frac{E(S_n^2)^2}{E(S_n^4)} = \frac{9}{16} \frac{n^2}{3n^2 – 2n}\]
À la limite (\(n \to +\infty\)), cette probabilité est supérieure ou égale à \(\frac{9}{16} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{16}\) donc elle est bien non nulle. CQFD !
Conclusion
En définitive, l’inégalité de Paley-Zygmund est un formidable outil pour compléter les formules au programme de prépa comme celle de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev puisque, contrairement à ces dernières, elle minore la probabilité (au lieu de majorer comme le font les deux autres). Il n’y a désormais plus qu’à croiser les doigts pour qu’une telle notion soit abordée aux concours !
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