Bonjour tout le monde, aujourd’hui sur Major-prépa parlons d’un des thèmes les plus récurrents des concours ; les fonctions. Pour réaliser notre entreprise, divisons notre travail en 3 parties.
I) Les fonctions “de base
Définitions
On peut définir une fonction comme étant une relation entre un x nommé antécédent et un f(x) nommé image.
En général dans le cadre de la classe prépa, les fonctions les plus utilisées sont les fonctions dites classiques ; on parle ici des fonctions sinus, cosinus, tangente, exp, ln, partie entière, valeur absolue, racine n-iéme.
Ce qu’il faut savoir des fonctions classiques
Pour le sinus et le cosinus et la tangente , tous les liens qui existent entre les deux ( cf l’article sur la trigo https://major-prepa.com/special-ecs-trigonometrie-et-nombres-complexes// ) en plus de cela il faut savoir trouver les sens de variations de ces fonctions suivant l’intervalle où elles se trouvent.
Pour l’exp, il faut se rappeler que l’exp va de IR vers IR+* et que la fonction exp est strictement croissante.
Pour ln, c’est une fonction croissante strictement et définit de IR+*vers IR. N’oubliez pas que ln est la réciproque d’exp
Voilà pour les fonctions les plus usuelles, après le reste des fonctions est une combinaison de celles-ci et donc se traite au cas par cas.
II) Les théorèmes à connaitre pour les fonctions en général (continuité+ dérivabilité)
a) continuité
Pour la continuité il faut savoir que la façon la plus évidente pour montrer qu’une fonction est continue en un point est de calculer sa limite en ce point et de voir si elle est égale à l’image attribuée ; cette proposition est équivalente à ce qui suit
On peut aussi dire que si f est une fonction continue en a alors λf est continue en a ( λ étant un scalaire) , si f et g dont deux fonctions continues en a alors f+g est continue et fxg est continue , mais aussi si g(a) est non nulle alors f/g est continue en a.
Il découle de cette continuité, un théorème connue par tous, c’est le TVI. En effet, selon le TVI si f est une fonction continue sur un intervalle I et si on a deux points a et b tel que f(a)xf(b)<0 alors il existe un point c tel que
f(c)=0 (n’oubliez pas qu’il n’y a aucune raison pour que c soit unique ;))
b) dérivabilité
Pour montrer que f est dérivable en un point b on peut calculer la limite f(x)-f(b)/x-b lorsque x tend vers b et voir si cette limite est finie.
On peut dire que si f est dérivable n fois en a alors λf est n fois dérivable en a, si f et g sont deux fonctions n fois dérivable en a alors f+g est n fois dérivable en a. Pour le produit le théorème reste vrai si f et g sont n fois dérivables en a alors fxg est n fois dérivable en a et on utilise la formule de Leibniz.
c) Lien entre continuité et dérivabilité
Tout d’abord, si f est une fonction dérivable en un point a alors f est aussi continue en ce point. (ATTENTION CE N’EST Q’UNE IMPLICATION NON UNE EQUIVALENCE !!!)
Ensuite, on peut parler des théorèmes qui nécessitent les deux conditions de continuité et de dérivabilité ;
Je parle ici du Théorème des accroissements finis (TAF) et du théorème de Rolle.
Pour le TAF , on peut dire que si f est continue sur [a,b] (a différent de b) et si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe un c dans ]a ,b[ tel que f(b)-f(a)=(b-a)xf'(c)
Pour le théorème de Rolle il suffit d’ajouter la condition f(b)=f(a) pour dire qu’il existe un c dans ]a ,b[ tel que f’(c)=0.
Voilà j’espère que cet article vous aura plu et qu’il vous sera utile .
