Spécial ECS : trigonométrie et nombres complexes Spécial ECS : trigonométrie et nombres complexes
On se retrouve aujourd’hui pour parler trigonométrie et complexes, c’est réservé au programme  d’ECS, c’est très souvent présent dans les énoncés de concours et... Spécial ECS : trigonométrie et nombres complexes

On se retrouve aujourd’hui pour parler trigonométrie et complexes, c’est réservé au programme  d’ECS, c’est très souvent présent dans les énoncés de concours et ça fait peur à beaucoup de préparationnaires. Si vous aussi vous avez du mal avec cet aspect des mathématiques, ne vous inquiétez pas ! Dans cet article, on va revoir les principales formules à connaître. Nous en ferons un autre plus tard qui traitera des questions types afin de pouvoir y répondre rapidement et ainsi gagner du temps pendant l’épreuve !

 

1- Les formules de trigonométrie :

 

Avant tout, il faut connaître par cœur le fameux tableau que vous voyez depuis le lycée. Utilisez vos meilleurs moyens mnémotechniques pour vous en souvenir et ne pas perdre de temps (c’est précieux) devant votre copie.

sin et cos sont définies sur R et n’ont pas de limite. Ensuite, cos est une fonction paire tandis que sin est une fonction impaire. C’est à dire que cos(-a) = cos(a) et que sin(-a) = -sin(a).

 

Il y a aussi les dérivées : cos’ = -sin et sin’ = cos. Petite astuce pour s’en souvenir, voyez le cercle trigonométrique comme une horloge (sin à midi, cos à 3h, -sin à 6h et -cos à 9h) et lorsque vous voulez dériver, avancez d’un quart d’heure.

 

Nous allons maintenant voir les formules les plus importantes. Vous devez les connaitre par cœur, on vous offre en prime des moyens mnémotechniques :

cos(a)^2 +sin(a)^2=1

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) et sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

Pour vous en souvenir retenez qu’avec cos on “colle” mais on change le signe alors qu’avec sin on “sépare” mais on garde le signe, je m’explique : Par exemple avec cos(a+b) on colle les cos mais on change le signe au milieu ce qui nous donne donc cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b). Alors que avec sin(a+b) on sépare les cos mais on garde le signe au milieu ce qui nous donne alors sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).

Avec ces formules, vous en déduisez toutes les autres formules de trigo comme par exemple les formules de duplication que voici :

Ces formules sont utiles pour linéariser les fonctions composées de produits de fonctions trigonométriques. C’est pratique lorsqu’on doit calculer des intégrales par exemple.

 

Il nous reste plus qu’à voir la fonction tangente qui se note tan=sin/cos.

Il faut juste savoir que tan’=1+tan^2=1/cos^2. Sa fonction réciproque est la fonction arctan mais nous ferons un article spécial sur les fonctions réciproques très bientôt. Maintenant que nous avons revu les bases de la trigo, passons aux complexes.

 

2- Les bases des complexes :

 

Nous n’allons pas refaire un cours sur les complexes, je suis sûr que votre prof le fait déjà très bien. Mais nous allons tout de même revoir les bases puis nous traiterons ensemble des questions qui reviennent souvent aux concours (bien que les complexes soient rares dans les épreuves). Dans la suite de l’article, le nombre z sera le nombre complexe d’affixe z=a+ib.

 

La formule du module : Le module représente la distance de z par rapport à l’origine et se note |z|=(a^2+b^2)1/2. Le résultat découle directement du théorème de Pythagore.

A propos des modules, une propriété indispensable à connaître est l’inégalité triangulaire. Elle dit que si z et z’ sont deux nombres complexes, alors |z+z’| ≤ |z|+|z’|.

 

La seconde formule est celle de l’argument qui désigne l’angle x entre l’axe des abscisse et z. Avec SOHCAHTOA, on trouve que cos(x)=a/|z| et sin(x)=b/|z|, ces deux informations nous permettent de trouver l’argument de z.

 

Ensuite, il faut connaître les trois formes sous lesquelles peut s’écrire un nombre complexe et aussi savoir jongler entre ces trois formes :

 

La forme arithmétique : z=a+ib

La forme trigonométrique : z=|z|(cos(x) + isin(x))

La forme exponentielle : z=|z|exp(ix)

Il faut remarquer que exp(ix)=cos(x)+isin(x).

 

Les dernières formules (utiles) à connaître sont les formules d’Euler :

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Conclusion :

Vous connaissez maintenant toutes les formules pour pouvoir traiter les exercices de trigo aux concours. Il ne reste plus qu’à vous entraîner pour gagner en rapidité, c’est une qualité nécessaire si l’on veut aller chercher les plus grosses notes. Et surtout, restez à l’affût des prochains articles pour toujours plus de conseils en mathématiques !

 

Yann Merlaud

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