Découvre dans cet article notre analyse du sujet de maths II approfondies HEC-ESCP 2026, une épreuve exigeante qui demande rigueur, maîtrise du cours et sens de l’initiative face à des questions parfois hors programme.
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Analyse des maths II approfondies HEC ESCP 2026
NB : Tous nos corrigés/analyses sont rédigés sans IA, par des professeurs experts dans la matière, conscients des attendus du programme ECG/ECT.
C’est un sujet assez technique mais qui peut faire penser au sujet de 2016.
Préliminaires
Question 1 : (g in F_{(a,b)}) est continue, strictement croissante sur (]a,b[), tend vers 0 en (a) et vers 1 en (b). Le théorème de la bijection s’applique directement : (g) réalise une bijection de (]a,b[) dans (]0,1[).
Question 2 : il s’agit de vérifier que (F_X) satisfait chaque condition de la définition de (F_{(a,b)}). Puisque (F_X’ = f > 0) sur (]a,b[), la fonction est strictement croissante et de classe (C^1). Les limites en (a) et (b) valent 0 et 1 par propriété d’une densité de probabilité.
Partie I
Question 3 : on utilise (F_{(X,Y)}(x,y) = mathbb{P}([X leq x] cap [Y leq y])). On peut alors utiliser la croissance de la probabilité et comparer les limites. On a alors que l’événement ([X leq t] cap [Y leq y]) tend vers 0.
Questions 4 et 5 : même idée, dans l’autre sens. D’abord pour la 4a, on peut utiliser la formule des probabilités totales. Ensuite, quand (r to +infty), l’événement ([Y leq r]) croît vers (Omega), ce qui donne (F_X(x) = lim_{r to +infty} F_{(X,Y)}(x,r)) par continuité croissante. La question 5 nécessite un raisonnement similaire.
Question 6 : on part des résultats de 4b et 5, qui donnent respectivement (F_X(x) = lim_{r to +infty} F_{(X,Y)}(x,r)) et (F_Y(y) = lim_{t to +infty} F_{(X,Y)}(t,y)). L’objectif est de montrer que (lim_{t to +infty} left(lim_{r to +infty} F_{(X,Y)}(t,r)right) = 1). On applique d’abord le résultat de 4b : pour tout (t) fixé, (lim_{r to +infty} F_{(X,Y)}(t,r) = F_X(t)). Il reste alors à faire tendre (t to +infty) dans (F_X(t)), ce qui donne 1 par propriété d’une fonction de répartition. La symétrie des deux limites itérées découle du même raisonnement en appliquant d’abord le résultat de 5 puis celui de 4b. Attention à bien justifier que l’on effectue les deux limites dans un ordre fixé, ce qui est licite sans hypothèse supplémentaire.
Question 7 : la quantité (F(b_1,b_2) – F(a_1,b_2) – F(b_1,a_2) + F(a_1,a_2)) est exactement (mathbb{P}([a_1 < X leq b_1] cap [a_2 < Y leq b_2])), qui est positive.
Questions 8a et 8b : bornes de Fréchet-Hoeffding (certains l’ont peut être déjà étudié). Pour la borne supérieure, on encadre en utilisant ([X leq x] cap [Y leq y] subset [X leq x]). On utilise alors la croissance de la probabilité (à ne pas oublier). Pour la borne inférieure, on part de (mathbb{P}(A cap B) geq mathbb{P}(A) + mathbb{P}(B) – 1).
Question 9 : on vérifie que les lois marginales sont bien (F_1) et (F_2) en appliquant le résultat de 4b. On calcule (lim_{r to +infty} F_{(X,Y)}(x,r) = lim_{r to +infty} min(F_1(x), F_2(r))). Puisque (F_2(r) to 1) quand (r to +infty), le minimum vaut finalement (F_1(x)) pour (r) assez grand, ce qui donne bien (F_X = F_1). Le raisonnement est symétrique pour (F_Y = F_2).
Question 10a : les variables (U = F_1(X)) et (V = F_2(Y)) suivent la loi uniforme sur ([0,1]). C’est une application directe du théorème de la bijection des préliminaires : puisque (F_1 in F_{(a_1,b_1)}), elle réalise une bijection de (]a_1,b_1[) dans (]0,1[), et (mathbb{P}(U leq u) = mathbb{P}(F_1(X) leq u) = mathbb{P}(X leq F_1^{-1}(u)) = F_1(F_1^{-1}(u)) = u).
Question 10b : on calcule la fonction de répartition du couple ((U,V)). Par définition, (F_{(U,V)}(u,v) = mathbb{P}(U leq u, V leq v) = F_{(X,Y)}(F_1^{-1}(u), F_2^{-1}(v)) = min(F_1(F_1^{-1}(u)), F_2(F_2^{-1}(v))) = min(u,v)).
Question 10c : la représentation graphique de l’ensemble (left{(x,y) in mathbb{R}^2 mid frac{1}{2} leq F_{(U,V)}(x,y) leq frac{2}{3}right}) revient à dessiner la région comprise entre les courbes de niveau (min(u,v) = frac{1}{2}) et (min(u,v) = frac{2}{3}). Ces courbes de niveau sont des équerres en L dont le coin se déplace le long de la diagonale.
Question 10d : le calcul de (mathbb{P}!left(U – V > frac{1}{n}right)) s’effectue en décomposant l’événement selon les intervalles (left[frac{k}{n}, frac{k+1}{n}right]) et en utilisant la fonction de répartition (F_{(U,V)}(u,v) = min(u,v)) pour calculer chaque probabilité élémentaire.
Question 10e : on déduit de 10d que (mathbb{P}!left(U – V > frac{1}{n}right) to 0) quand (n to +infty), ce qui donne (mathbb{P}(U neq V) = 0), soit (mathbb{P}(U = V) = 1). Autrement dit, (F_1(X) = F_2(Y)) presque sûrement.
Question 10f : puisque (mathbb{P}(U = V) = 1) et que (F_1^{-1}) est croissante, on en déduit (X = F_1^{-1}(U) = F_1^{-1}(V) = F_1^{-1}(F_2(Y))) presque sûrement. La fonction (F_1^{-1} circ F_2) est bien croissante comme composée de fonctions croissantes.
Question 11 : on suppose maintenant que (X(Omega) subset ]a_1,b_1[) et (Y(Omega) subset ]a_2,b_2[). Le résultat de 10f donne (X = g(Y)) presque sûrement avec (g = F_1^{-1} circ F_2) croissante. Symétriquement, (Y = h(X)) avec (h = F_2^{-1} circ F_1) croissante. Les variables (X) et (Y) sont donc comonotones.
Question 12 : question Python. On simule (X) selon la loi normale centrée réduite et (Y) selon la loi exponentielle de paramètre 1, puis on construit ((X,Y)) de sorte que (F_{(X,Y)} = min(F_1,F_2)). En pratique, on génère (U) uniforme sur ([0,1]) puis on pose (X = F_1^{-1}(U)) et (Y = F_2^{-1}(U)).
Questions 13 à 17, second exemple, (F_{(X,Y)} = max(F_1 + F_2 – 1, 0)) : la borne inférieure cette fois. La structure est la même qu’avant, mais on obtient (mathbb{P}(U = 1-V) = 1).
Partie II
Partie A
Question 18 : (f_1(x,y) = max(x,y)) est croissante en chaque variable (on peut faire une disjonction de cas, pour avoir une rédaction soignée), mais n’est pas 2-croissante. Un contre-exemple suffit pour 18b.
Question 19 : (f_2(x,y) = xy). La 2-croissance se vérifie directement : (f_2(b_1,b_2) – f_2(a_1,b_2) – f_2(b_1,a_2) + f_2(a_1,a_2) = (b_1-a_1)(b_2-a_2) geq 0). En revanche, pour (y < 0), (t mapsto ty) est décroissante.
Question 20 : les deux exemples précédents montrent que croissance variable par variable et 2-croissance sont indépendantes. (f_1) satisfait l’une sans l’autre, (f_2) satisfait l’autre sans l’une (pour (y < 0)).
Question 21a : Question technique. La limite en (t to 0) puis (h to 0) est simplement la définition de la dérivée partielle successivement en (y) puis en (x).
Question 21b : si (F) est 2-croissante, alors par définition la quantité (F(x+h, y+t) – F(x+h, y) – F(x, y+t) + F(x,y)) est positive pour tous (h, t > 0). Le taux d’accroissement est donc positif, et sa limite (partial^2_{1,2} F(x,y)) l’est également.
Question 22a : question assez technique qui peut demander de passer par la théorème fondamental d’analyse.
Question 22b : si (partial^2_{1,2} F(x,y) geq 0) sur (I times J), alors l’intégrale double calculée en 22a est positive, ce qui donne exactement la condition de 2-croissance. C’est la réciproque de 21b, obtenue sans autre outil que le théorème fondamental de l’analyse appliqué deux fois.
Question 23 : si (F) est 2-croissante avec des limites nulles en (-infty), alors en posant (a_2 = b_2) dans la définition, la condition se réduit à (F(b_1,y) geq F(a_1,y)) pour (a_1 leq b_1) : les fonctions partielles sont croissantes.
Partie B
Question 24 : les conditions aux bords d’une copule donnent (C(1,v) = v) et (C(u,1) = u), donc (U) et (V) suivent la loi uniforme sur ([0,1]).
Question 25 : pour montrer que (C^*(u,v) = u + v – 1 + C(1-u,1-v)) est une copule, on vérifie les conditions aux bords (calcul direct) et la 2-croissance, qui se déduit de celle de (C) par le changement de variables ((u,v) mapsto (1-u, 1-v)).
Question 26 : En 26a, on encadre (C(u_2,v) – C(u_1,v)) entre 0 et (u_2 – u_1) à l’aide de la 2-croissance et des conditions aux bords. En 26b, on combine les deux directions pour obtenir (|C(u_2,v_2) – C(u_1,v_1)| leq |u_2-u_1| + |v_2-v_1|). La continuité en 26c suit immédiatement avec passage à la limite.
Partie III
Partie A
En 27a, la croissance de (F_X^{-1}) permet d’écrire (C(x,y) = mathbb{P}([F_X(X) leq x] cap [F_Y(Y) leq y])), puis on étend à ([0,1]^2) par continuité. En 27b, (C) est 2-croissante car c’est une fonction de répartition. En 27c, les conditions aux bords découlent de la définition.
Question 28 : Pour l’existence, la copule construite en 27 convient : il suffit de poser (u = F_X(x)) et (v = F_Y(y)) et d’utiliser (F_X^{-1} circ F_X = mathrm{id}) sur (]a,b[) pour vérifier que (C(F_X(x), F_Y(y)) = F_{(X,Y)}(x,y)). Pour l’unicité, si deux copules (C) et (tilde{C}) satisfont la relation, on pose (x = F_X^{-1}(u)) et (y = F_Y^{-1}(v)) pour tout ((u,v) in ]0,1[^2) : la bijectivité établie dans les préliminaires force (C = tilde{C}) sur (]0,1[^2), puis sur ([0,1]^2) entier par continuité des copules démontrée en 26c.
Question 29 : dans l’autre sens, si (F = C(F_1, F_2)), on retrouve (F_{X_1} = F_1) en faisant tendre (x_2 to +infty) et en utilisant (C(u,1) = u).
Partie B
Question 30 : question simple ici. On calcule (lim_{y to +infty} frac{1}{1+e^{-x}+e^{-y}} = frac{1}{1+e^{-x}}), qui est la fonction de répartition d’une loi logistique standard. La densité s’obtient par dérivation.
Partie C
Questions 32 à 35 : il s’agit de montrer que (C_theta(u,v) = uve^{-thetaln(u)ln(v)}) est bien une copule pour (theta in [0,1]). La question 32 est la plus délicate : il faut étudier le signe de (frac{partial^2 C_theta}{partial u partial v}) via la fonction auxiliaire (g), dont le tableau de variations dépend de la position de (theta) par rapport au seuil (theta_* = frac{1+ln(u_1)+ln(v_1)}{2ln(u_1)ln(v_1)}). En 32b, on conclut que (g) est toujours positive. Les questions 33 et 34 en déduisent la 2-croissance sur (]0,1[^2) puis sur ([0,1]^2) par continuité. La question 35 vérifie les conditions aux bords.
Question 36 : on calcule les lois marginales en passant à la limite dans (F_{(X,Y)}) et on identifie les lois obtenues.
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