Découvre dans cet article notre analyse du sujet de maths II approfondies HEC-ESCP 2026, une épreuve exigeante qui demande rigueur, maîtrise du cours et sens de l’initiative face à des questions parfois hors programme.
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Analyse des maths II approfondies HEC ESCP 2026
NB : Tous nos corrigés/analyses sont rédigés sans IA, par des professeurs experts dans la matière, conscients des attendus du programme ECG/ECT.
C’est un sujet assez technique mais qui peut faire penser au sujet de 2016.
Préliminaires
Question 1 : \(g \in F_{(a,b)}\) est continue, strictement croissante sur \(]a,b[\), tend vers 0 en \(a\) et vers 1 en \(b\). Le théorème de la bijection s’applique directement : \(g\) réalise une bijection de \(]a,b[\) dans \(]0,1[\).
Question 2 : il s’agit de vérifier que \(F_X\) satisfait chaque condition de la définition de \(F_{(a,b)}\). Puisque \(F_X’ = f > 0\) sur \(]a,b[\), la fonction est strictement croissante et de classe \(C^1\). Les limites en \(a\) et \(b\) valent 0 et 1 par propriété d’une densité de probabilité.
Partie I
Question 3 : on utilise \(F_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb{P}([X \leq x] \cap [Y \leq y])\). On peut alors utiliser la croissance de la probabilité et comparer les limites. On a alors que l’événement \([X \leq t] \cap [Y \leq y]\) tend vers 0.
Questions 4 et 5 : même idée, dans l’autre sens. D’abord pour la 4a, on peut utiliser la formule des probabilités totales. Ensuite, quand \(r \to +\infty\), l’événement \([Y \leq r]\) croît vers \(\Omega\), ce qui donne \(F_X(x) = \lim_{r \to +\infty} F_{(X,Y)}(x,r)\) par continuité croissante. La question 5 nécessite un raisonnement similaire.
Question 6 : on part des résultats de 4b et 5, qui donnent respectivement \(F_X(x) = \lim_{r \to +\infty} F_{(X,Y)}(x,r)\) et \(F_Y(y) = \lim_{t \to +\infty} F_{(X,Y)}(t,y)\). L’objectif est de montrer que \(\lim_{t \to +\infty} \left(\lim_{r \to +\infty} F_{(X,Y)}(t,r)\right) = 1\). On applique d’abord le résultat de 4b : pour tout \(t\) fixé, \(\lim_{r \to +\infty} F_{(X,Y)}(t,r) = F_X(t)\). Il reste alors à faire tendre \(t \to +\infty\) dans \(F_X(t)\), ce qui donne 1 par propriété d’une fonction de répartition. La symétrie des deux limites itérées découle du même raisonnement en appliquant d’abord le résultat de 5 puis celui de 4b. Attention à bien justifier que l’on effectue les deux limites dans un ordre fixé, ce qui est licite sans hypothèse supplémentaire.
Question 7 : la quantité \(F(b_1,b_2) – F(a_1,b_2) – F(b_1,a_2) + F(a_1,a_2)\) est exactement \(\mathbb{P}([a_1 < X \leq b_1] \cap [a_2 < Y \leq b_2])\), qui est positive.
Questions 8a et 8b : bornes de Fréchet-Hoeffding (certains l’ont peut être déjà étudié). Pour la borne supérieure, on encadre en utilisant \([X \leq x] \cap [Y \leq y] \subset [X \leq x]\). On utilise alors la croissance de la probabilité (à ne pas oublier). Pour la borne inférieure, on part de \(\mathbb{P}(A \cap B) \geq \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) – 1\).
Question 9 : on vérifie que les lois marginales sont bien \(F_1\) et \(F_2\) en appliquant le résultat de 4b. On calcule \(\lim_{r \to +\infty} F_{(X,Y)}(x,r) = \lim_{r \to +\infty} \min(F_1(x), F_2(r))\). Puisque \(F_2(r) \to 1\) quand \(r \to +\infty\), le minimum vaut finalement \(F_1(x)\) pour \(r\) assez grand, ce qui donne bien \(F_X = F_1\). Le raisonnement est symétrique pour \(F_Y = F_2\).
Question 10a : les variables \(U = F_1(X)\) et \(V = F_2(Y)\) suivent la loi uniforme sur \([0,1]\). C’est une application directe du théorème de la bijection des préliminaires : puisque \(F_1 \in F_{(a_1,b_1)}\), elle réalise une bijection de \(]a_1,b_1[\) dans \(]0,1[\), et \(\mathbb{P}(U \leq u) = \mathbb{P}(F_1(X) \leq u) = \mathbb{P}(X \leq F_1^{-1}(u)) = F_1(F_1^{-1}(u)) = u\).
Question 10b : on calcule la fonction de répartition du couple \((U,V)\). Par définition, \(F_{(U,V)}(u,v) = \mathbb{P}(U \leq u, V \leq v) = F_{(X,Y)}(F_1^{-1}(u), F_2^{-1}(v)) = \min(F_1(F_1^{-1}(u)), F_2(F_2^{-1}(v))) = \min(u,v)\).
Question 10c : la représentation graphique de l’ensemble \(\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{1}{2} \leq F_{(U,V)}(x,y) \leq \frac{2}{3}\right\}\) revient à dessiner la région comprise entre les courbes de niveau \(\min(u,v) = \frac{1}{2}\) et \(\min(u,v) = \frac{2}{3}\). Ces courbes de niveau sont des équerres en L dont le coin se déplace le long de la diagonale.
Question 10d : le calcul de \(\mathbb{P}\!\left(U – V > \frac{1}{n}\right)\) s’effectue en décomposant l’événement selon les intervalles \(\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]\) et en utilisant la fonction de répartition \(F_{(U,V)}(u,v) = \min(u,v)\) pour calculer chaque probabilité élémentaire.
Question 10e : on déduit de 10d que \(\mathbb{P}\!\left(U – V > \frac{1}{n}\right) \to 0\) quand \(n \to +\infty\), ce qui donne \(\mathbb{P}(U \neq V) = 0\), soit \(\mathbb{P}(U = V) = 1\). Autrement dit, \(F_1(X) = F_2(Y)\) presque sûrement.
Question 10f : puisque \(\mathbb{P}(U = V) = 1\) et que \(F_1^{-1}\) est croissante, on en déduit \(X = F_1^{-1}(U) = F_1^{-1}(V) = F_1^{-1}(F_2(Y))\) presque sûrement. La fonction \(F_1^{-1} \circ F_2\) est bien croissante comme composée de fonctions croissantes.
Question 11 : on suppose maintenant que \(X(\Omega) \subset ]a_1,b_1[\) et \(Y(\Omega) \subset ]a_2,b_2[\). Le résultat de 10f donne \(X = g(Y)\) presque sûrement avec \(g = F_1^{-1} \circ F_2\) croissante. Symétriquement, \(Y = h(X)\) avec \(h = F_2^{-1} \circ F_1\) croissante. Les variables \(X\) et \(Y\) sont donc comonotones.
Question 12 : question Python. On simule \(X\) selon la loi normale centrée réduite et \(Y\) selon la loi exponentielle de paramètre 1, puis on construit \((X,Y)\) de sorte que \(F_{(X,Y)} = \min(F_1,F_2)\). En pratique, on génère \(U\) uniforme sur \([0,1]\) puis on pose \(X = F_1^{-1}(U)\) et \(Y = F_2^{-1}(U)\).
Questions 13 à 17, second exemple, \(F_{(X,Y)} = \max(F_1 + F_2 – 1, 0)\) : la borne inférieure cette fois. La structure est la même qu’avant, mais on obtient \(\mathbb{P}(U = 1-V) = 1\).
Partie II
Partie A
Question 18 : \(f_1(x,y) = \max(x,y)\) est croissante en chaque variable (on peut faire une disjonction de cas, pour avoir une rédaction soignée), mais n’est pas 2-croissante. Un contre-exemple suffit pour 18b.
Question 19 : \(f_2(x,y) = xy\). La 2-croissance se vérifie directement : \(f_2(b_1,b_2) – f_2(a_1,b_2) – f_2(b_1,a_2) + f_2(a_1,a_2) = (b_1-a_1)(b_2-a_2) \geq 0\). En revanche, pour \(y < 0\), \(t \mapsto ty\) est décroissante.
Question 20 : les deux exemples précédents montrent que croissance variable par variable et 2-croissance sont indépendantes. \(f_1\) satisfait l’une sans l’autre, \(f_2\) satisfait l’autre sans l’une (pour \(y < 0\)).
Question 21a : Question technique. La limite en \(t \to 0\) puis \(h \to 0\) est simplement la définition de la dérivée partielle successivement en \(y\) puis en \(x\).
Question 21b : si \(F\) est 2-croissante, alors par définition la quantité \(F(x+h, y+t) – F(x+h, y) – F(x, y+t) + F(x,y)\) est positive pour tous \(h, t > 0\). Le taux d’accroissement est donc positif, et sa limite \(\partial^2_{1,2} F(x,y)\) l’est également.
Question 22a : question assez technique qui peut demander de passer par la théorème fondamental d’analyse.
Question 22b : si \(\partial^2_{1,2} F(x,y) \geq 0\) sur \(I \times J\), alors l’intégrale double calculée en 22a est positive, ce qui donne exactement la condition de 2-croissance. C’est la réciproque de 21b, obtenue sans autre outil que le théorème fondamental de l’analyse appliqué deux fois.
Question 23 : si \(F\) est 2-croissante avec des limites nulles en \(-\infty\), alors en posant \(a_2 = b_2\) dans la définition, la condition se réduit à \(F(b_1,y) \geq F(a_1,y)\) pour \(a_1 \leq b_1\) : les fonctions partielles sont croissantes.
Partie B
Question 24 : les conditions aux bords d’une copule donnent \(C(1,v) = v\) et \(C(u,1) = u\), donc \(U\) et \(V\) suivent la loi uniforme sur \([0,1]\).
Question 25 : pour montrer que \(C^*(u,v) = u + v – 1 + C(1-u,1-v)\) est une copule, on vérifie les conditions aux bords (calcul direct) et la 2-croissance, qui se déduit de celle de \(C\) par le changement de variables \((u,v) \mapsto (1-u, 1-v)\).
Question 26 : En 26a, on encadre \(C(u_2,v) – C(u_1,v)\) entre 0 et \(u_2 – u_1\) à l’aide de la 2-croissance et des conditions aux bords. En 26b, on combine les deux directions pour obtenir \(|C(u_2,v_2) – C(u_1,v_1)| \leq |u_2-u_1| + |v_2-v_1|\). La continuité en 26c suit immédiatement avec passage à la limite.
Partie III
Partie A
En 27a, la croissance de \(F_X^{-1}\) permet d’écrire \(C(x,y) = \mathbb{P}([F_X(X) \leq x] \cap [F_Y(Y) \leq y])\), puis on étend à \([0,1]^2\) par continuité. En 27b, \(C\) est 2-croissante car c’est une fonction de répartition. En 27c, les conditions aux bords découlent de la définition.
Question 28 : Pour l’existence, la copule construite en 27 convient : il suffit de poser \(u = F_X(x)\) et \(v = F_Y(y)\) et d’utiliser \(F_X^{-1} \circ F_X = \mathrm{id}\) sur \(]a,b[\) pour vérifier que \(C(F_X(x), F_Y(y)) = F_{(X,Y)}(x,y)\). Pour l’unicité, si deux copules \(C\) et \(\tilde{C}\) satisfont la relation, on pose \(x = F_X^{-1}(u)\) et \(y = F_Y^{-1}(v)\) pour tout \((u,v) \in ]0,1[^2\) : la bijectivité établie dans les préliminaires force \(C = \tilde{C}\) sur \(]0,1[^2\), puis sur \([0,1]^2\) entier par continuité des copules démontrée en 26c.
Question 29 : dans l’autre sens, si \(F = C(F_1, F_2)\), on retrouve \(F_{X_1} = F_1\) en faisant tendre \(x_2 \to +\infty\) et en utilisant \(C(u,1) = u\).
Partie B
Question 30 : question simple ici. On calcule \(\lim_{y \to +\infty} \frac{1}{1+e^{-x}+e^{-y}} = \frac{1}{1+e^{-x}}\), qui est la fonction de répartition d’une loi logistique standard. La densité s’obtient par dérivation.
Partie C
Questions 32 à 35 : il s’agit de montrer que \(C_\theta(u,v) = uve^{-\theta\ln(u)\ln(v)}\) est bien une copule pour \(\theta \in [0,1]\). La question 32 est la plus délicate : il faut étudier le signe de \(\frac{\partial^2 C_\theta}{\partial u \partial v}\) via la fonction auxiliaire \(g\), dont le tableau de variations dépend de la position de \(\theta\) par rapport au seuil \(\theta_* = \frac{1+\ln(u_1)+\ln(v_1)}{2\ln(u_1)\ln(v_1)}\). En 32b, on conclut que \(g\) est toujours positive. Les questions 33 et 34 en déduisent la 2-croissance sur \(]0,1[^2\) puis sur \([0,1]^2\) par continuité. La question 35 vérifie les conditions aux bords.
Question 36 : on calcule les lois marginales en passant à la limite dans \(F_{(X,Y)}\) et on identifie les lois obtenues.
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