Le sujet est long mais globalement accessible. Il alterne des questions très classiques (étude de fonctions, suites, matrices, probabilités de base) et quelques rares points plus délicats (intégrales généralisées, loi géométrique, modélisation d’un univers probabiliste un peu inhabituel pour un candidat ECT).

-Questions 1 à 3 : étude complète de \( f_1 \) (dérivée, variation, point d’inflexion, limites, tableau de variations).

-Questions 4 à 6 : étude analogue de \( f_2 \) (dérivée, variation, limites en \( \pm\infty \) par croissances comparées).

→ C’est du cours appliqué. Il faut soigner la rédaction, notamment pour les limites et le point d’inflexion.

-Question 7 : compléter une fonction fact(n) pour calculer n!.

Ligne 2 : f = 1

Ligne 4 : f = f * k

-Question 8 : écrire def f(n, x): return (x**n / fact(n)) * np.exp(1 – x)

→ Rien de difficile, il faut connaître la syntaxe de base.

-Question 10 : calcul de \( I_0(A) \) et convergence de \( I_0 \).

-Question 11 : intégration par parties pour \( I_1(A) \), puis convergence et valeur de \( I_1 \)

→ Très classique. L’intégration par parties est guidée.

-Question 12 : montrer que la fonction \( g \) définie par \( g(t) = \frac{1}{e} f_1(t) \) pour \( t \geq 0 \) est une densité.

→ Il faut vérifier positivité et intégrale totale = 1 (en utilisant \( I_1 = e \) de la partie III).

-Question 13 : calcul de l’expression \( G(x) \) (cas \( x < 0 \) et \( x \geq 0 \) ) de la fonction de répartition \( G \) , puis espérance via \( I_2 \).

Conclusion sur l’exercice 1 : très accessible si on maîtrise le cours et les calculs de base.

-Question 1 : Montrer par récurrence que \( (u_n) \)et \( (v_n) \) sont des entiers strictement positifs pour tout n.

Initialisation : \( n = 0 \): \( u_0 = 1 > 0 \), \( v_0 = 2 > 0 \).

Hérédité : on suppose \( u_n > 0 \) et \( v_n > 0 \). Alors

\( u_{n+1} = 5u_n + 2v_n > 0 \) (somme de termes positifs),

\( v_{n+1} = 3u_n + 6v_n > 0 \).

De plus, ce sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers d’entiers, donc ils restent entiers.

Conclusion : la propriété est vraie pour tout n.

-Question 2 : En déduire la stricte croissance des deux suites.

Calculons \( u_{n+1} – u_n = (5u_n + 2v_n) – u_n = 4u_n + 2v_n \).

D’après la question 1, \( u_n > 0 \) et \( v_n > 0 \), donc \( 4u_n + 2v_n > 0 \).

Ainsi \( u_{n+1} > u_n \).

De même, \( v_{n+1} – v_n = (3u_n + 6v_n) – v_n = 3u_n + 5v_n > 0 \).

Conclusion : les deux suites sont strictement croissantes.

Remarque importante : il fallait bien utiliser la stricte positivité (question 1) pour justifier les différences positives.

-Questions 3 à 5 : des questions d’application du cours qui ne devraient pas poser de problème.

-Question 6 : savoir résoudre un système, résoudre le système pour exprimer \( (u_n) \),\( (v_n) \)en fonction de \( (x_n) \),\( (y_n) \).

-Question 7 : Une fois qu’on a exprimé \( (u_n) \)et \( (v_n) \)en fonction de \( (x_n) \)et \( (y_n) \)(question 6), il suffit d’y remplacer \( (x_n) \)et \( (y_n) \)par leurs expressions en fonction de n obtenues aux questions 4 et 5.

-Question 8 : calculer \( u_1 \),\( v_1 \).

-Question 9 : utiliser \( u_{n+2} = 5u_{n+1} + 2v_{n+1} \) et \( v_{n+1} = \frac{1}{2}(u_{n+2} – 5u_{n+1}) \) pour obtenir \( u_{n+2} = 11u_{n+1} – 24u_n \).

-Question 10 : savoir les formules donnant les racines d’un polynôme du second degré : ici, c’est 3 et 8( on aurait pu le remarquer avec la question 12 aussi)

-Question 11 : résoudre \( a + b = 1 \), \( 3a + 8b = 9 \) → \( a = -\frac{1}{5} \), \( b = \frac{6}{5} \).

-Question 12 : retrouver \( u_n \) puis \( v_n \).

-Question 13 : écrire \( X_{n+1} = MX_n \) avec \( M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \), puis \( X_n = M^n X_0 \).

-Question 14 : calculer \( M^2 \), vérifier \( M^2 – 11M + 24I_2 = 0 \), en déduire polynôme annulateur et valeurs propres possibles.

-Question 15 : vecteurs propres \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) (val. 8) et \( \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) (val. 3)..

-Question 16 : diagonalisation \( M = PDP^{-1} \)..

-Question 17 : calcul de \( M^n \) et retrouver \( u_n, v_n \) grâce à une identification place par place dans \( X_n = M^n X_0 \).

Conclusion sur l’exercice 2 : très classique, aucune difficulté majeure. Remarquez que vous venez de trouver les termes généraux des suites considérées par trois méthodes différentes dont la dernière utilise les matrices.

C’est sans doute l’exercice le plus difficile du sujet, pour deux raisons :

Le contexte (jetons à deux faces, numéros bleu et rouge) peut déstabiliser au premier abord.

La difficulté est un peu inhabituelle pour une épreuve BSB ECT, notamment avec les tirages avec remise et les lois de temps d’attente.

Pour bien comprendre le mécanisme, il faut s’appuyer sur les petits cas. Un exemple est donné pour n=2 (3 jetons). Ensuite, la première partie de l’exercice fait travailler le cas n=4 (10 jetons). Le concepteur a volontairement évité d’étudier le cas général, ce qui rend l’exercice plus limpide une fois qu’on a bien compris la structure des jetons (le numéro bleu est toujours supérieur ou égal au numéro rouge).

Pour n=4, 10 jetons :

(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4).

Toujours \( B \geq R \)

-Question 1 : lister les 10 jetons.

a) En reprenant la liste des jetons de la question 1, on constate que les valeurs possibles pour B et R sont les mêmes :\( B(\Omega) = R(\Omega) = \{1,2,3,4\} \).

b) L’événement \( (B = 1) \cap (R = 1) \) correspond au jeton (1,1). Il y a 1 cas favorable sur 10 jetons possibles, d’où une probabilité de \( \frac{1}{10} \).

-L’événement \( (B = 1) \cap (R = 2) \) est impossible car aucun jeton n’a un numéro bleu égal à 1 et un numéro rouge égal à 2. En effet, d’après la construction de l’urne, le numéro bleu est toujours supérieur ou égal au numéro rouge. On a donc une probabilité nulle.

Remarque importante : on observe que le numéro bleu majore toujours le numéro rouge ( \( B \geq R \) ).

c) En appliquant le même raisonnement à toutes les cases du tableau, on remplit la loi conjointe de la façon suivante :

-Pour \( i \geq j \), on a \( P(B = i \cap R = j) = \frac{1}{10} \).

-Pour \( j > i \) (c’est-à-dire rouge plus grand que bleu), c’est impossible, donc probabilité nulle.

Visuellement, le tableau forme une matrice triangulaire supérieure (sans valeur nulle sur la diagonale).

-Questions 3 et 4 : lois marginales de \( B \) et \( R \), calcul des espérances et variances.

-Question 5 : covariance \( \text{Cov}(B, R) \) et conclusion (pas indépendantes car covariance non nulle). Ici, il fallait se rappeler du cours: une covariance non nulle entre deux variables aléatoires implique que ces deux variables aléatoires soient non indépendantes, la réciproque de cette proposition n’étant pas vraie bien évidemment! ).

-Question 6 : Pour la question 6, certains candidats ont peut-être cherché à déterminer toute la loi de \( G = B – R \) avant de calculer son espérance. Ce n’était pas nécessaire : il suffisait d’utiliser la linéarité de l’espérance, c’est-à-dire \( \mathbb{E}(G) = \mathbb{E}(B) – \mathbb{E}(R) \), et de reprendre les valeurs des espérances de B et R obtenues aux questions précédentes.

Attention : à partir de la partie II, les règles du jeu changent. On effectue désormais des tirages avec remise dans l’urne, et on conserve n=4 (les 10 jetons sont toujours les mêmes). On se trouve donc dans un cadre de probabilités sur un univers infini, puisqu’on peut théoriquement tirer indéfiniment.

-Question 7 :\( S_k = (B_k = 1) = (B_k = 1 \cap R_k = 1) \) car seul jeton avec \( B = 1 \) est (1,1). → \( P(S_k) = \frac{1}{10} \).

-Question 8 : \( T_1 \hookrightarrow \mathcal{G}\left(p = \frac{1}{10}\right) \), \( \mathbb{E}(T_1) = 10 \), \( \mathbb{V}(T_1) = 90 \).

-\( T_2 \in \{2, 3, 4, \ldots\} \).

-\( X_m \hookrightarrow \mathcal{B}\left(m, \frac{1}{10}\right) \).

– \( (T_2 = k) = (X_{k-1} = 1) \cap S_k \) (justifier double inclusion).

– Alors \( P(T_2 = k) = {{k-1}\choose{1}} p(1-p)^{k-2} \times p = (k-1)p^2(1-p)^{k-2} \) pour tout \( k \geq 2 \).

Question 10 : NomJoueur n’est pas unique → clé primaire = IdPartie.

Question 11 : CREATE TABLE Partie (IdPartie INT PRIMARY KEY, NomJoueur TEXT, B INT, R INT);

Question 12 : SELECT NomJoueur FROM Partie WHERE B = 1;

Conclusion sur l’exercice 3 : le plus difficile. La difficulté est surtout dans la compréhension du contexte et la modélisation des événements. Les calculs deviennent simples une fois la modélisation faite.

En définitive, ce qui ressort de ce sujet BSB ECT 2026, c’est que le concepteur ne cherche pas à être particulièrement difficile. Il cherche avant tout à récompenser les candidats qui ont réellement travaillé leur cours de mathématiques pendant les deux années de préparation. Encore une fois, le sujet couvre presque toutes les grandes parties du programme, sans jamais tomber dans le piège ou l’excès de virtuosité. La clé de la réussite tient moins dans l’astuce que dans la maîtrise des notions fondamentales et la rigueur dans la rédaction.