La fonction sinus cardinal, souvent notée \( \mathrm{sinc} \), est l’une des fonctions classiques les plus fréquemment rencontrées dans les sujets de concours des grandes écoles de commerce. Définie à partir du quotient \( \frac{\sin(x)}{x} \), elle intervient dans de nombreux contextes du programme ECG : étude de fonctions, prolongement par continuité, calcul de limites, intégration, et même en probabilités lorsqu’il s’agit d’étudier certaines densités ou de calculer des espérances. L’étude de cette fonction mobilise, à elle seule, un grand nombre de compétences du programme : gestion d’une forme indéterminée, prolongement par continuité, étude de dérivabilité, analyse des variations à l’aide de la dérivée et comportement asymptotique. Elle constitue ainsi un excellent exercice d’analyse.
Définition et prolongement par continuité
La fonction sinus cardinal est naturellement définie sur \( \mathbb{R}^{*} \) par :
\[ f(x) = \frac{\sin(x)}{x}. \]
En \( x = 0 \), cette expression présente une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). Il est donc nécessaire d’étudier la limite de \( f \) en zéro pour déterminer si un prolongement par continuité est possible.
On sait, d’après le programme, que \( \sin(x) \underset{x \to 0}{\sim} x \). Ce développement limité à l’ordre 1 découle directement du fait que \( \sin \) est dérivable en 0 avec \( \sin'(0) = \cos(0) = 1 \), ce qui donne \( \sin(x) = x + o(x) \) au voisinage de zéro. On en déduit immédiatement :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]
Cette limite étant finie, on peut prolonger \( f \) par continuité en 0 en posant \( f(0) = 1 \). La fonction sinus cardinal, notée \( \mathrm{sinc} \), est alors définie sur \( \mathbb{R} \) tout entier par : \( \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) si \( x \neq 0 \), et \( \mathrm{sinc}(0) = 1 \).
La fonction \( \mathrm{sinc} \) ainsi définie est continue sur \( \mathbb{R} \). En effet, elle est continue sur \( \mathbb{R}^{*} \) comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas, et elle est continue en 0 par construction du prolongement.
Parité
La fonction \( \mathrm{sinc} \) est définie sur \( \mathbb{R} \), qui est un intervalle symétrique par rapport à l’origine. Pour tout \( x \in \mathbb{R}^{*} \), on a :
\[ \mathrm{sinc}(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x} = \mathrm{sinc}(x). \]
De plus, \( \mathrm{sinc}(0) = 1 = \mathrm{sinc}(-0) \). La fonction sinus cardinal est donc paire. Son étude peut ainsi être restreinte à \( [0, +\infty[ \), puis complétée par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Comportement en l’infini
Lorsque \( x \to +\infty \), le numérateur \( \sin(x) \) est borné (par 1 en valeur absolue), tandis que le dénominateur \( x \) tend vers \( +\infty \). Par le théorème d’encadrement, puisque :
\[ \forall x > 0, \quad -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}, \]
et que \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \), on obtient :
\[ \lim_{x \to +\infty} \mathrm{sinc}(x) = 0. \]
La fonction sinus cardinal tend donc vers 0 en \( +\infty \) (et en \( -\infty \) par parité). L’axe des abscisses est asymptote horizontale en \( \pm \infty \). Toutefois, la convergence vers 0 s’effectue de manière oscillante, en raison du facteur \( \sin(x) \) au numérateur.
Dérivabilité et calcul de la dérivée
Sur \( \mathbb{R}^{*} \), la fonction \( \mathrm{sinc} \) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. Pour tout \( x \neq 0 \), la règle du quotient donne :
\[ \mathrm{sinc}'(x) = \frac{x\cos(x) – \sin(x)}{x^2}. \]
La question de la dérivabilité en 0 est plus délicate. On utilise le taux d’accroissement :
\[ \frac{\mathrm{sinc}(h) – \mathrm{sinc}(0)}{h} = \frac{\frac{\sin(h)}{h} – 1}{h} = \frac{\sin(h) – h}{h^2}. \]
Pour déterminer cette limite, on utilise le développement limité de \( \sin \) à l’ordre 3 au voisinage de 0, qui est au programme : \( \sin(h) = h – \frac{h^3}{6} + o(h^3) \). On en déduit :
\[ \frac{\sin(h) – h}{h^2} = \frac{-\frac{h^3}{6} + o(h^3)}{h^2} = -\frac{h}{6} + o(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0. \]
La fonction \( \mathrm{sinc} \) est donc dérivable en 0, et \( \mathrm{sinc}'(0) = 0 \). Ce résultat est cohérent avec la parité de la fonction : une fonction paire dérivable en 0 a nécessairement une dérivée nulle en ce point.
En résumé, \( \mathrm{sinc} \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \), et sa dérivée vérifie \( \mathrm{sinc}'(x) = \frac{x\cos(x) – \sin(x)}{x^2} \) si \( x \neq 0 \), et \( \mathrm{sinc}'(0) = 0 \).
Annulation et zéros de la fonction
Les zéros de \( \mathrm{sinc} \) sur \( \mathbb{R}^{*} \) sont exactement les zéros de \( \sin \) privés de l’origine, c’est-à-dire les entiers relatifs non nuls multiples de \( \pi \). Formellement :
\[ \mathrm{sinc}(x) = 0 \iff x \in { k\pi \mid k \in \mathbb{Z}^{*} }. \]
La fonction s’annule donc une infinité de fois, avec des zéros régulièrement espacés de \( \pi \). Entre deux zéros consécutifs, la fonction change de signe, ce qui produit les oscillations amorties caractéristiques du sinus cardinal.
Étude des variations sur \( [0, +\infty[ \)
L’étude du signe de \( \mathrm{sinc}'(x) = \frac{x\cos(x) – \sin(x)}{x^2} \) sur \( ]0, +\infty[ \) revient à étudier le signe du numérateur \( g(x) = x\cos(x) – \sin(x) \). On remarque que \( g(0) = 0 \) et que \( g'(x) = -x\sin(x) \).
Sur l’intervalle \( ]0, \pi[ \), on a \( \sin(x) > 0 \) et \( x > 0 \), donc \( g'(x) = -x\sin(x) < 0 \). La fonction \( g \) est donc strictement décroissante sur \( ]0, \pi[ \). Comme \( g(0) = 0 \), on en déduit que \( g(x) < 0 \) sur \( ]0, \pi[ \), ce qui signifie que \( \mathrm{sinc}'(x) < 0 \) sur cet intervalle. La fonction \( \mathrm{sinc} \) est donc strictement décroissante sur \( [0, \pi] \), passant de \( \mathrm{sinc}(0) = 1 \) à \( \mathrm{sinc}(\pi) = 0 \).
Au-delà de \( \pi \), le signe de \( g'(x) = -x\sin(x) \) alterne selon les intervalles \( ]k\pi, (k+1)\pi[ \), ce qui engendre une succession d’extrema locaux. Les maxima locaux sont atteints aux points où \( x\cos(x) = \sin(x) \), c’est-à-dire aux solutions de \( \tan(x) = x \) sur les intervalles appropriés. L’amplitude de ces oscillations décroît, car la fonction est encadrée par \( \pm \frac{1}{x} \) qui tend vers 0. La fonction sinus cardinal présente donc des oscillations amorties autour de l’axe des abscisses.
Courbe de la fonction
Retrouve ici une courbe représentative de la fonction. Tu peux vérifier les propriétés que nous venons de démontrer.
Travailler la fonction sinus cardinal
Si tu veux travailler cette fonction sinus cardinal, voilà un sujet de concours où tu peux la retrouver :
- MATHS EML APPRO 2003 premier exercice
Conclusion
La fonction sinus cardinal constitue un objet d’étude particulièrement riche pour les étudiants de prépa ECG. Elle mobilise plusieurs méthodes du cours d’analyse. L’étude de la fonction nous fait utiliser simultanément les notions de prolongement par continuité, de développement limité, de dérivabilité, d’étude de variations et de comportement asymptotique.
Pour les concours, tu n’as pas à connaître les propriétés autour de cette fonction. Néanmoins, il est utile de t’entraîner sur cette fonction et sur le sujet ci-dessus. Tu pourras ainsi travailler l’étude des fonctions trigonométriques (très courantes aux concours).
