Le programme de CPGE ECG nous familiarise en deuxième année avec les espaces préhilbertiens réels, où l’on définit le produit scalaire de deux fonctions continues sur un segment par l’intégrale de leur produit. De cette structure naît l’inégalité de Cauchy-Schwarz, véritable réflexe de survie en concours. Pourtant, Cauchy-Schwarz souffre d’une limite structurelle : elle impose un cadre quadratique strict, celui de la puissance 2. Que faire lorsque l’énoncé nous confronte à des puissances asymétriques, comme avec des moments d’une variable aléatoire supérieurs à 2 ? C’est ici qu’intervient l’inégalité de Hölder. Véritable extension « grand angle » de Cauchy-Schwarz, elle permet de fragmenter un produit sous une intégrale ou une somme en ajustant des exposants conjugués (que nous définirons par la suite).
Introduction : au-delà du produit scalaire canonique
Le programme de CPGE ECG introduit les espaces préhilbertiens réels, où l’on définit le produit scalaire de deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur un segment \([a, b]\) par :
\[ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) \, dt \]
L’inégalité de Cauchy-Schwarz nous assure alors que \(|\langle f, g \rangle| \leq \|f\|_2 \|g\|_2\). C’est un outil puissant, mais limité au cadre quadratique (puissance 2). Que faire si nous sommes confrontés à une intégrale du type \(\int f^3 g^{1,5}\) ?
C’est ici qu’intervient Hölder. Son inégalité permet de fragmenter un produit sous une intégrale ou une somme en utilisant des exposants conjugués (voir ce qui suit pour la définition des exposants conjugués).
Définitions et cadre d’application
Les exposants conjugués
On dit que deux réels \(p, q > 1\) sont conjugués (ou conjugués de Hölder) si :
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \]
Remarque : Si \(p=q=2\), on se ramène directement à la structure euclidienne classique (Cauchy-Schwarz). Tu pourras le vérifier aisément, puisque les hypothèses sont alors les mêmes et la formule qui suit juste après se simplifie pour donner celle de Cauchy-Schwarz. Aussi, pour un \(p\) donné, on vérifie aisément que le \(q\) associé est unique.
Énoncé général
Théorème (forme intégrale) :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues (ou continues par morceaux) sur un intervalle \([a, b]\). Pour tout couple \((p, q)\) d’exposants conjugués, on a :
\[ \int_a^b |f(t)g(t)| \, dt \leq \left( \int_a^b |f(t)|^p \, dt \right)^{1/p} \left( \int_a^b |g(t)|^q \, dt \right)^{1/q} \]
En utilisant la notation des normes \(\| \cdot \|_p\) (notion hors programme en ECG), cela s’écrit : \(\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q\).
Théorème (forme discrète)
Pour tous réels \(a_1, \dots, a_n\) et \(b_1, \dots, b_n\) :
\[ \sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left( \sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n |b_i|^q \right)^{1/q} \]
Démonstration : la puissance de la convexité
La démonstration repose sur l’inégalité de Young, que l’on va d’ailleurs rapidement redémontrer puisque cette démonstration est assez aisée.
Étape 1 : l’inégalité de Young
Soient \(x, y \geq 0\). On veut montrer que \(xy \leq \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}\).
La fonction \(\ln\) étant concave sur \(\mathbb{R}_+^*\), on part de l’inégalité de concavité :
\[ \ln\left(\frac{1}{p}x^p + \frac{1}{q}y^q\right) \geq \frac{1}{p}\ln(x^p) + \frac{1}{q}\ln(y^q)\]
Par les propriétés classiques du logarithme, on a par ailleurs que :
\[\frac{1}{p}\ln(x^p) + \frac{1}{q}\ln(y^q)= \ln(xy) \]
D’où :
\[ \ln\left(\frac{1}{p}x^p + \frac{1}{q}y^q\right) ≥ \ln(xy)\]
Par croissance de l’exponentielle, en passant cette inégalité à l’exponentielle, on obtient l’inégalité de Young.
Étape 2 : normalisation
C’est ici que les choses commencent à se corser un petit peu !
Supposons \(\|f\|_p > 0\) et \(\|g\|_q > 0\). On pose les fonctions normalisées :
\[ F(t) = \frac{|f(t)|}{\|f\|_p} \quad \text{et} \quad G(t) = \frac{|g(t)|}{\|g\|_q} \]
On admet ici complètement que : \(\quad \|f\|_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p dt \right)^{1/p}\).
Par construction, \(\int_a^b F(t)^p \, dt = 1\) et \(\int_a^b G(t)^q \, dt = 1\).
Étape 3 : intégration
On applique Young en chaque point \(t \in [a, b]\) :
\[ F(t)G(t) \leq \frac{F(t)^p}{p} + \frac{G(t)^q}{q} \]
En intégrant sur le segment :
\[ \int_a^b F(t)G(t) \, dt \leq \frac{1}{p}\int_a^b F^p + \frac{1}{q}\int_a^b G^q = \frac{1}{p}(1) + \frac{1}{q}(1) = 1 \]
En remplaçant \(F\) et \(G\) par leurs expressions, on retrouve alors l’inégalité de Hölder (pour rappel, \(\quad \|f\|_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p dt \right)^{1/p}\)) et on applique la linéarité de l’intégrale pour retrouver Hölder.
Astuces
L’astuce du 1 : pour comparer \(\int |f|\) et \(\int |f|^p\), on peut tout simplement écrire\(f = f \times 1\). Sur \([a, b]\), Hölder donne : \(\int |f| \leq \|f\|_p \times (b-a)^{1/q}\). Cette astuce est d’une immense utilité en pratique, il faut donc toujours l’avoir dans un coin de sa tête, surtout si le membre de droite de l’inégalité ne comporte qu’un seul élément, et non deux comme il semble que l’inégalité fasse apparaître en principe (cela peut signifier que le membre de droite se simplifie du fait de l’intégration de la fonction constante égale à \(1\)).
Lien aléatoire : en probabilités, l’inégalité de Hölder donne une inégalité très importante que tu peux retenir. Cela devient \(|E(XY)| \leq E(|X|^p)^{1/p} E(|Y|^q)^{1/q}\). C’est un outil formidable pour majorer les moments d’ordre \(k\) de variables aléatoires. La preuve de cette inégalité passe par la définition de l’espérance d’une variable aléatoire à densité notamment.
Vérification d’homogénéité : il faut toujours s’assurer que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), ce qui est une condition de validité de l’inégalité obtenue in fine. Il convient de ne pas oublier cette vérification simple, donc qui s’oublie facilement, pour montrer que Hölder s’applique.
Exemples d’application (type sujet Parisiennes)
Voici désormais deux inégalités à prouver en utilisant l’inégalité de Hölder. Tu trouveras des éléments de correction (non exhaustifs) juste en dessous des énoncés.
Exemple 1 : comparaison de la moyenne et du moment d’ordre 4
Énoncé
Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \([0, 1]\). Montrer que :
\[ \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right)^4 \leq \int_0^1 f(t)^4 \, dt \]
Preuve
L’astuce consiste à voir \(f\) comme le produit de \(f\) et de la fonction constante égale à \(1\) (en général, on se fait avoir une fois et on finit ensuite par toujours avoir cette astuce dans un coin de sa tête !). On souhaite faire apparaître une puissance 4, on choisit donc naturellement \(p = 4\).
Si \(p = 4\), alors son exposant conjugué \(q\) doit vérifier \(\frac{1}{4} + \frac{1}{q} = 1\), d’où \(q = \frac{4}{3}\).
Appliquons l’inégalité de Hölder au produit \(f \times 1\) :
\[ \int_0^1 |f(t) \cdot 1| \, dt \leq \left( \int_0^1 |f(t)|^4 \, dt \right)^{1/4} \times \left( \int_0^1 1^{4/3} \, dt \right)^{3/4} \]
L’intégrale de droite est triviale : \(\int_0^1 1 \, dt = 1\). On a donc :
\[ \int_0^1 |f(t)| \, dt \leq \left( \int_0^1 |f(t)|^4 \, dt \right)^{1/4} \]
En élevant chaque membre à la puissance 4 (la fonction \(x \mapsto x^4\) étant croissante sur \(\mathbb{R}^+\)), on obtient :
\[ \left( \int_0^1 |f(t)| \, dt \right)^4 \leq \int_0^1 f(t)^4 \, dt \]
Comme \(\left| \int_0^1 f(t) \, dt \right| \leq \int_0^1 |f(t)| \, dt\), le résultat est démontré (CQFD).
Exemple 2 : minoration d’une somme de cubes
Énoncé :
Soient \(x_1, \dots, x_n > 0\). Montrer que \(\sum x_i^3 \geq \frac{1}{\sqrt{n}} (\sum x_i^2)^{3/2}\)
Preuve
On décompose \(x_i^2 = (x_i^3)^{2/3} \cdot 1^{1/3}\). Par Hölder avec \(p=3/2\) et \(q=3\) (après avoir vérifié que \(\frac{1}{p} x \frac{1}{q} =1\)) :
\[ \sum x_i^2 \leq \left( \sum (x_i^2)^{3/2} \right)^{2/3} \left( \sum 1^3 \right)^{1/3} = \left( \sum x_i^3 \right)^{2/3} \cdot n^{1/3} \]
En élevant à la puissance \(3/2\), on obtient \((\sum x_i^2)^{3/2} \leq (\sum x_i^3) \sqrt{n}\), d’où le résultat.
Conclusion
L’inégalité de Hölder est une généralisation élégante hors programme en prépa ECG. En concours, elle permet de résoudre des questions de majoration là où Cauchy-Schwarz échoue par manque de flexibilité sur les exposants. Il n’y a plus qu’à croiser les doigts pour qu’un tel sujet tombe le jour J.
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