L’inégalité de Young est une inégalité très utile en analyse qui peut se voir comme une généralisation de la très célèbre inégalité arithmético-géométrique. De ce fait, cette inégalité peut se révéler très utile dans l’étude de fonctions, et c’est pourquoi elle est déjà tombée plusieurs fois à l’écrit comme à l’oral. Voyons la définition de l’inégalité classique, avant d’aborder le cas à n-variables. Nous étudierons ensuite un exemple accessible d’application, puis nous aborderons d’autres généralisations de l’inégalité de Young.
Définition classique
L’inégalité de Young pour deux réels \(a\) et \(b\), et pour \( p, q > 1\) tels que \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \), est donnée par :
\[
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}
\]
L’égalité a lieu si et seulement si \(a\) et \(b\) sont proportionnels. Je te laisse essayer de démontrer l’égalité dans ce cas !
Démonstration
Il existe un très grand nombre de manières de démontrer l’inégalité de Young pour deux variables \(p\) et \(q\). La méthode que nous développerons ici a le bénéfice d’être accessible relativement facilement pour un élève de prépa qui sait mobiliser la concavité du logarithme.
Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs et \(p, q > 1\) tels que \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \).
En utilisant les règles sur les produits et les puissances du logarithme \( \ln(x) \), on a l’égalité suivante pour \(a\) et \(b\) :
\[
\ln(ab) = \frac{1}{p} \ln(a^p) + \frac{1}{q} \ln(b^q).
\]
Or, comme le logarithme est concave, la formule de Jensen donne que pour des poids \( w_1, w_2, \dots, w_n \) satisfaisant \( \sum_{i=1}^n w_i = 1 \) (d’où la nécessité d’avoir la condition \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \)) :
\[
f\left( \sum_{i=1}^{n} w_i x_i \right) \geq \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i).
\]
On obtient ainsi :
\[
\ln(ab) = \frac{1}{p} \ln(a) + \frac{1}{q} \ln(b) \leq \ln\left( \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \right),
\]
Par passage à l’exponentielle, on obtient finalement :
\[
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.
\]
Remarque : l’inégalité de Young apparaît comme une généralisation plus robuste de l’inégalité arithmético-géométrique !
Voici, pour rappel, l’inégalité arithmético-géométrique pour deux variables :
\(\sqrt{a_1 a_2} \leq \frac{a_1 + a_2}{2}\)
Généralisation à n-variables
La version de l’inégalité de Young pour plusieurs variables peut être généralisée comme suit.
Soit \(a_1, a_2, \dots, a_n \geq 0\) et \( 1 < p_1, p_2, \dots, p_n\) satisfaisant :\( \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \cdots + \frac{1}{p_n} = 1. \)
Alors, on a l’inégalité suivante :
\[
a_1 \cdot a_2 \cdots a_n \leq \frac{a_1^{p_1}}{p_1} + \frac{a_2^{p_2}}{p_2} + \cdots + \frac{a_n^{p_n}}{p_n},
\]
Ou autrement dit :
\[
\prod_{i=1}^{n} a_i \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^{p_i}}{p_i},
\]
avec égalité si et seulement si \(a_1^{p_1} = a_2^{p_2} = \cdots = a_n^{p_n}\).
Cette forme de l’inégalité à n-variables est d’utilisation plus rare et, de ce fait, la formule la plus importante à retenir est celle du cas à deux variables énoncé plus haut. Tu verras déjà dans la partie qui suit que l’application de la formule n’est pas si simple, rien que dans le cas à deux variables.
Exercice d’application
Soit \(P\) le polynôme tel que \(P(x) = – \frac{x^4}{2} + x^3 – \frac{x^2}{2}\). Montrons que P est positif sur \(\mathbb{R_+}\). Évidemment, on pourrait procéder par dérivation, en étudiant ensuite la dérivée… C’est long, autant aller plus rapidement en rusant et en appliquant l’inégalité de Young !
Solution
Appliquons l’inégalité de Young pour \(a = x^2\) et \(b = x\) qui ont le bon goût d’être positifs sur \(\mathbb{R_+}\).
L’inégalité de Young donne :
\[
x^2 \cdot x \leq \frac{x^{2p}}{p} + \frac{x^{q}}{q}.
\]
En remplaçant \( p = 2 \) et \( q = 2 \), nous obtenons :
\[
x^3 \leq \frac{x^4}{2} + \frac{x^2}{2}.
\]
En réarrangeant les termes, on obtient bien que \( \forall x \in \mathbb{R_+}, 0 \leq P(x)\).
Voici le graphique de la courbe :
Note : nous n’avons pas pu prouver cette inégalité sur \(\mathbb{R}\), car l’inégalité de Young nous impose de travailler avec des réels positifs.
Même si cet exemple est une application simple de cette inégalité, la difficulté est de trouver les bons \(a\), \(b\), \(p\) et \(q\) pour aboutir à l’inégalité souhaitée. C’est pour cela qu’il convient de s’entraîner plusieurs fois afin de réussir à retrouver les bons éléments à appliquer en utilisant la méthode par identification des coefficients. Si cela peut t’aider, il se trouve que dans la majorité des sujets, on aura \(p=q=2\).
Généralisations autour de l’inégalité de Young
Inégalité intégrale de Young
Un cas fréquent de l’inégalité de Young se manifeste sous forme intégrale. Pour \(a\) et \(b\) positifs, on a l’inégalité :
\[
\int_0^a f(x) \, dx + \int_0^b f^{-1}(y) \, dy \geq ab.
\]
Ce cas est étroitement lié à l’inégalité de Young, mais est long à prouver… Retiens simplement qu’il existe une inégalité de Young intégrale. En effet, si un sujet vient à aborder cette relation, cela se fera avec un grand nombre de sous-questions intermédiaires, même en Maths I, donc pas de panique !
Version avec un paramètre \( \varepsilon \)
Une version fréquemment utilisée de l’inégalité de Young introduit un paramètre \( \varepsilon \) afin de mieux contrôler l’écart entre le produit et la somme des puissances.
L’inégalité devient alors :
\[
ab \leq \frac{a^2}{2\varepsilon} + \varepsilon \frac{b^2}{2}.
\]
Tu remarques que c’est comme si l’on avait \(p=q=2\) et que l’on avait rajouté un paramètre \(\varepsilon >0\). On a donc ici une forme plus robuste de l’inégalité de Young, mais plus difficile à appliquer donc (une variable en plus).
Cette inégalité ne se démontre pas exactement de la même manière que l’inégalité classique de Young. C’est pourquoi l’intérêt de cette démonstration est plus faible et, de ce fait, nous ne développerons pas dessus.
L’utilité de cette forme est qu’en choisissant \( \varepsilon \) de manière appropriée, on obtient une borne plus fine qui maximise l’efficacité de l’inégalité.
Généralisation de l’inégalité de Young
Il existe enfin une dernière forme d’inégalité de Young, encore plus complexe que la précédente, qui s’énonce de la manière suivante :
\[
ab \leq \frac{a^p}{(q\varepsilon)^{p/q}} + \varepsilon b^q.
\]
Nous passons encore une fois la démonstration de cette formule.
Conclusion
En définitive, l’inégalité de Young, en ce qu’elle apparaît être une généralisation de l’inégalité arithmético-géométrique, est d’une très grande utilité (d’autant qu’elle a été déclinée sous plusieurs formes : appliquée aux fonctions à n-variables, au calcul intégral…). La difficulté pour appliquer cette formule sera donc en général de trouver les bons \(p\), \(q\), \(a\) et \(b\) pour aboutir au résultat souhaité (voir le cas d’application à l’inégalité polynomiale vu précédemment).
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