Trilogie #2 : Initiation à la sommation Trilogie #2 : Initiation à la sommation
On se retrouve aujourd’hui pour “apprendre à compter”, c’est à dire calculer des sommes de nombres, chose qui est indispensable pour réussir les épreuves... Trilogie #2 : Initiation à la sommation

On se retrouve aujourd’hui pour “apprendre à compter”, c’est à dire calculer des sommes de nombres, chose qui est indispensable pour réussir les épreuves de maths du concours. Cet article a pour objectif de vous rappeler les sommes usuelles, de vous montrer les erreurs courantes que font les étudiants, et enfin des “astuces” pour calculer des sommes plus sophistiquées. (Les formules sont écrites à la main, excusez mon écriture). Tu peux retrouver le premier épisode sur la récurrence.

 

I) Rappel de cours :

Les sommes usuelles :

Voici les sommes usuelles que vous devez connaître sur le bout des doigts:

La somme des n premiers entiers :

S=1+2+3+...+(n-1)+n=\sum _{{i=1}}^{n}i={\frac {n(n+1)}2}.

La somme des n premiers entiers au carré :

\sum _{{k=1}}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)(n+1)n}6}.

La somme géométrique :

\sum _{{i=0}}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{{n+1}}}{1-x}}

Et enfin la formule du binôme :

(x+y)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}x^{{n-k}}y^{k}

Les méthodes basiques de calcul :

  • Se ramener à une somme usuelles, parfois des sommes ressemblent à celles précédentes, il faut alors savoir s’y ramener. Voyons deux exemples simples :

 

Place au premier exemple :

Dans cet exemple il a fallu arranger le terme dans la somme pour se ramener à une somme géométrique.

Voyons un dernier exemple avec la formule du binôme :

\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0

Dans ce dernier exemple il fallait utiliser la formule du binôme avec a=-1 et b=1.

 

  • Le “télescopage”, cela consiste à faire apparaître une somme du type f(k+1)-f(k) (ou f(k)-f(k+1), il suffit de factoriser par -1) pour faire apparaître des simplifications et ainsi calculer la somme.  Le mieux pour comprendre cette technique est d’étudier un exemple très souvent présent dans les énoncés de concours :

Ici il fallait remarquer que  1/k(k+1) = 1/k  – 1/(k+1) pour avoir une somme de la forme f(k)-f(k+1) où f(x)=1/x  puis voir les simplifications.

 

  • La récurrence, lorsque la somme ne ressemble en rien à une somme usuelle, qu’il n’y a pas de télescopage, il ne reste qu’une chose à faire, une démonstration par récurrence. Pour calculer une somme par récurrence il faut que le résultat soit donné par l’énoncé. Nous avons d’ailleurs écrit un article qui détaille  les raisonnements par récurrences.

 

  • La translation d’indice, c’est une manipulation que l’on fait sur les sommes pour faire apparaître une somme que l’on connaît. Cela consiste à enlever un nombre à la variable de sommation et à ajouter ce même nombre à chaque borne de la somme. Un exemple permet d’y voir plus clair :

Au lieu de développer avec l’identité remarquable une translation d’indice permet de réaliser le calcul très rapidement, et le temps c’est des points !

II) Focus sur la formule du binôme

 

  • Les relations à connaître pour manier les coefficients binomiaux :   

Pour être un roi de la sommation vous vous devez de connaître ces trois formules (surtout la première) :

{n \choose k}={\frac nk}{n-1 \choose k-1}\qquad (k>0)

{n \choose k}={n \choose n-k}\qquad (4)

{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\qquad {\mbox{(2)}}

Cette dernière s’appelle la formule de Pascal.

 

  • Utiliser la formule du binôme et les formules précédentes pour calculer des sommes plus complexes :

Calculons ensemble une somme plus difficiles qui demandent d’utiliser plusieurs techniques que l’on a vu :

Il fallait utiliser la première des trois formules précédentes, puis faire une translation d’indice et enfin factoriser par x pour faire apparaître la formule du binôme.

Voyons une dernière somme qui utilise la formule de Pascal :

somme p parmi k solution telescopage

Il fallait utiliser la formule de Pascal pour faire apparaître une somme télescopique.

 

Voilà vous avez tout ce que vous avez à savoir pour pouvoir calculer des sommes finies qui sont très présentes en probabilité discrète et en analyse, il ne reste plus qu’à vous entraîner !

 

PS : Je laisse à votre professeur le plaisir de vous expliquer les sommes doubles…

 

 

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Yann Merlaud

Étudiant à l'EDHEC après une prépa ECS au Lycée Camille Vernet. Ma spécialité sont les mathématiques.