Salut ! On se retrouve aujourd’hui pour “apprendre à compter”, c’est à dire calculer des sommes de nombres, chose qui est indispensable pour réussir les épreuves de maths au concours. Cet article se veut être une initiation à la sommation et a pour objectif de vous rappeler les sommes usuelles, de vous montrer les erreurs courantes que font les étudiants, et enfin de vous livrer des “astuces” pour calculer certaines sommes plus complexes.
N’hésite pas à consulter aussi nos astuces sur les sommes !
10 astuces sur les sommes – Niveau débutant
8 astuces sur les sommes – Niveau intermédiaire
10 astuces sur les sommes – Niveau avancé
I) Sommation – Le rappel de cours :
Les propriétés importantes :
Soient \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \), \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \), \( \lambda \in \mathbb{R} \) et \( n \in \mathbb{N}^* \).
\[ \displaystyle \sum_{k=0}^n (u_k + v_k ) = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k + \displaystyle \sum_{k=0}^n v_k \]
\[ \displaystyle \sum_{k=0}^n (\lambda u_k) = \lambda \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k \]
Soient \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \), \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) et \( p, q \in \mathbb{N} \).
\[ \displaystyle ( \sum_{i=0}^p u_i ). \displaystyle (\sum_{j=0}^q v_j) = \displaystyle \sum_{i=0}^p \displaystyle \sum_{j=0}^q u_i v_j \]
Les sommes usuelles :
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\)
Voici les sommes usuelles que vous devez connaître sur le bout des doigts:
La somme des \(n\) premiers entiers : \[ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \]
La somme des \(n\) premiers entiers au carré : \[ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \displaystyle \frac{n(2n+1)(n+1)}{6} \]
La somme géométrique : \[ \forall x \ne 1, \displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^k = \displaystyle \frac{1 – x^{n+1}}{1-x} \ \ et \ \ \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 1^k = n +1 \]
Identité remarquable : \[ \displaystyle a^n -b^n = \displaystyle (a-b) \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}\]
Et enfin la formule du binôme : \[ \displaystyle (x+y)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^k
y^{n-k} \]
Les méthodes classiques de calcul :
- Se ramener à une somme usuelles, parfois des sommes ressemblent à celles précédentes, il faut alors savoir s’y ramener. Voyons deux exemples simples :
Exemple 1 :
\( \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1) &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \\ &= \displaystyle \frac{n(2n+1)(n+1)}{6} + \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{align} \)
Exemple 2 :
Soit \( x \ne 1 \).
\( \begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^{2i+1} &= x \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (x^2)^{i} \\ &= x\frac{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2} \end{align} \)
Dans cet exemple il a fallu arranger le terme dans la somme pour se ramener à une somme géométrique.
Exemple 3 :
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} (-1)^k = \displaystyle (1+(-1))^n = 0 \)
Dans ce dernier exemple il fallait utiliser la formule du binôme avec \(a=-1\) et \(b=1\).
- Le “changement d’indice” : \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} u_k = \displaystyle \sum_{k=p+j}^{n+j} u_{k-j} \)
- “L’inversion d’indice” : \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} u_k = \displaystyle \sum_{k=j-n}^{j-p} u_{j-k} \)
- Le “télescopage” : Cela consiste à faire apparaître une somme du type \(f(k+1)-f(k)\) pour faire apparaître des simplifications et ainsi calculer la somme. Le mieux pour comprendre cette technique est d’étudier un exemple très souvent présent dans les énoncés de concours :
Exemple 4 :
\( \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} ( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} ) \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} – \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} \\ &= \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} – \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} \\ &= 1 – \frac{1}{n+1} \end{align} \)
- La récurrence, lorsque la somme ne ressemble en rien à une somme usuelle, qu’il n’y a pas de télescopage, il ne reste qu’une chose à faire, une démonstration par récurrence. Pour calculer une somme par récurrence il faut que le résultat soit donné par l’énoncé (ou réussir à l’intuiter).
II) Sommation – Focus sur la formule du binôme
- Les relations à connaître par coeur pour manier les coefficients binomiaux :
Pour être un roi de la sommation vous vous devez de connaître ces trois formules :
\( {{n}\choose{k}} = \frac{n}{k} {{n-1}\choose{k-1}} \) avec \( k > 0 \)
\( \displaystyle {{n}\choose{k}} = \displaystyle {{n}\choose{n-k}} \)
Formule du triangle de Pascal : \( \displaystyle {{n}\choose{k}} + \displaystyle {{n}\choose{k+1}} = \displaystyle {{n+1}\choose{k+1}} \)
Un résultat classique à connaître – la formule de Vandermonde :
Démontrez que : \( \forall a,b,n \in \mathbb{N} \) tels que \( a + b \le n \), on a : \( {{n}\choose{a+b}} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {{a}\choose{k}} {{b}\choose{n-k}} \).
Rédaction :
Soient \( a,b,n \in \mathbb{N} \) tels que \( a + b \le n \).
On remarque que : \( (x+1)^{a+b} = (x+1)^{a}(x+1)^{b} \)
Avec la formule du binôme de Newton : \( \displaystyle \sum_{i=0}^{a+b} {{a+b}\choose{i}} x^{i} = \displaystyle ( \sum_{j=0}^{a} {{a}\choose{j}} x^{j}) . \displaystyle (\sum_{i=0}^{b} {{b}\choose{i}} x^{i}) \)
Or :
\( \begin{align} \displaystyle ( \sum_{j=0}^{a} {{a}\choose{j}} x^{j}) . \displaystyle (\sum_{i=0}^{b} {{b}\choose{i}} x^{i}) &= \displaystyle \sum_{j=0}^{a} \sum_{i=0}^{b} {{a}\choose{j}} {{b}\choose{i}} x^{j} x^{i} \\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{a+b} \sum_{i + j=k} {{a}\choose{j}} {{b}\choose{i}} x^{k} \\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{a+b} (\sum_{i = 0}^{k} {{a}\choose{i}} {{b}\choose{k-i}}) x^{k} \end{align} \).
C’est-à-dire : \( \displaystyle \sum_{i=0}^{a+b} {{a+b}\choose{i}} x^{i} = \displaystyle \sum_{k=0}^{a+b} (\sum_{i = 0}^{k} {{a}\choose{i}} {{b}\choose{k-i}}) x^{k} \)
Puis en identifiant les coefficients du monôme \( x^n \) il vient : \[ \fbox{ \( {{a+b}\choose{n}} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {{a}\choose{k}} {{b}\choose{n-k}} \) }\].
Ainsi s’achève cet article sur la sommation, j’espère qu’il vous sera utile. N’hésitez pas à vous entraîner avec les exemples ci-dessus. À bientôt !
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