Lors de sujets de type Maths II, il est fréquent que soit introduite une loi de probabilité hors programme à étudier. Dans ce cadre, il peut être pertinent de connaître quelques propriétés sur les plus communes. À ce titre, la loi zêta est une loi de probabilité discrète hors programme qui pourrait faire l’objet d’un sujet de type Maths II, car elle peut s’analyser (au moins en partie) avec les outils du programme. Tu le verras, cette dernière est notamment liée aux séries de Riemann et à leur critère de convergence, que tu connais sûrement déjà.
Introduction
La loi de zêta est une loi de probabilité discrète dont la formule se fonde sur la série zêta de Riemann (série que l’on note généralement \(\zeta\)). Cette série pose encore aujourd’hui un grand nombre d’interrogations parmi les chercheurs, si bien qu’une récompense d’un million d’euros est proposée à quiconque résoudra la conjecture suivante : « les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle 1/2. »
Si une telle récompense est proposée, c’est que cette fonction, et par extension la loi zêta, est liée aux nombres premiers et permettrait de grandes avancées scientifiques.
En bref, il s’agit d’une loi fondamentale qu’il est possible d’aborder en surface avec les outils de prépa ECG (la surface est toutefois très intéressante également).
Étudions donc la définition de cette loi, avant d’étudier ses propriétés et de proposer quelques questions classiques qui pourraient faire l’objet d’une partie de sujet type Maths II.
Définition
Comme précisé précédemment, la loi zêta est une loi de probabilité discrète qui s’appuie sur la fonction zêta de Riemann. Elle est définie pour un paramètre \( s > 1 \) (ce critère découle directement du critère de convergence pour les séries de Riemann).
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi zêta de paramètre \( s \). La probabilité que \( X \) prenne la valeur \( n \) est donnée par :
\[ P(X = n) = \frac{1}{n^s \zeta(s)} = \frac{1}{n^s \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}} \]
En effet, \( \zeta(s) \) est la fonction zêta de Riemann, définie par :
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \]
Cette série converge pour \( s > 1 \) comme vu en cours, assurant ainsi que la loi zêta est bien définie pour ces valeurs de \( s \).
Propriétés
Existence de la loi de probabilité
Pour vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité, nous devons montrer que la somme des probabilités pour toutes les valeurs possibles de \( X \) est égale à 1 et que chaque \(P(X=k)\) est bien positif (mais cette deuxième vérification est immédiate comme somme d’éléments tous positifs).
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi zêta de paramètre \( s \). La probabilité que \( X \) prenne la valeur \( n \) est donnée par :
\[ P(X = n) = \frac{1}{n^s \zeta(s)} \]
La somme des probabilités pour toutes les valeurs de \( n \) est :
\[ \sum_{n=1}^{\infty} P(X = n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s \zeta(s)} = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \]
Puisque \( \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \), nous avons :
\[ \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(s)} = 1 \]
Ainsi, la somme des probabilités est bien égale à 1, confirmant qu’il s’agit d’une loi de probabilité valide.
Espérance de la loi zêta
Pour qu’une variable aléatoire \( X \) suivant une loi zêta de paramètre \( s \) admette une espérance finie, il faut que \( s > 2 \). L’espérance est alors donnée par :
\[ E[X] = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \]
Précisons d’ores et déjà pourquoi l’existence de l’espérance suppose \( s > 2 \). Pour cela, il convient de regarder le \(\zeta(s-1)\) présent dans la formule. Or, \(\zeta(s-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-1}} \) et cette série ne converge que si \(s-1>1 \Rightarrow s>2\), ce qui aboutit au résultat souhaité.
Tu retrouveras également dans la partie III de cet article une démonstration pour l’espérance de cette loi.
Variance de la loi zêta
Pour qu’une variable aléatoire \( X \) suivant une loi zêta de paramètre \( s \) admette une variance, il faut que \( s > 3 \). L’espérance est alors donnée par :
\[ \text{Var}(X) = \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) – (\zeta(s-1))^2}{\zeta(s)^2} \]
Pour les mêmes raisons que celles évoquées dans le cas de l’espérance, on comprend pourquoi il faut cette fois-ci que \(s\) soit strictement supérieur à \(3\) (argument de convergence d’une série de Riemann).
Calcul des moments
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi zêta de paramètre \( s \). Le moment d’ordre \( k \) est donné par :
\[ E[X^k] = \sum_{n=1}^{\infty} n^k \cdot P(X = n) = \sum_{n=1}^{\infty} n^k \cdot \frac{1}{n^s \zeta(s)} \]
Simplifions cette expression :
\[ E[X^k] = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-k}} \]
La série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-k}}\) est la fonction zêta de Riemann évaluée en \( s-k \), donc :
\[ E[X^k] = \frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)} \]
Note : cette expression est valide pour \( s > k + 1 \), car la série \(\zeta(s-k)\) converge seulement pour \( s-k > 1 \).
Questions classiques
Les questions sur la loi zêta sont souvent présentes dans les concours de mathématiques, notamment dans les épreuves de type ECG ou HEC Maths I et II. Voici quelques exemples de questions classiques.
Existence de la loi de probabilité
Une première question d’un sujet type Maths II pourrait éventuellement être de démontrer que la loi zêta est bien une loi de probabilité. Pour cette question, je te renvoie au début de l’article, où nous avions vérifié cela !
Espérance
Énoncé : Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi zêta de paramètre \( s = 3 \). Calculer l’espérance et la variance de \( X \).
Réponse :
Sous réserve d’existence de la série, on a :
\[ E[X] = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot P(X = n) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \frac{1}{n^s \zeta(s)} \]
\[ E[X] = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-1}} \]
La série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-1}}\) est la fonction zêta de Riemann évaluée en \( s-1 \). Cette série est bien convergente, car on a \(s>3 => s-1 >2>1\) donc :
\[ E[X] = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \]
Variance
Pour calculer la variance, nous devons d’abord trouver \( E[X^2] \) si l’on souhaite utiliser la formule de Koenig-Huygens :
\[ E[X^2] = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot P(X = n) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot \frac{1}{n^s \zeta(s)} \]
\[ E[X^2] = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-2}} \]
La série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-2}}\) est la fonction zêta de Riemann évaluée en \( s-2 \), donc :
\[ E[X^2] = \frac{\zeta(s-2)}{\zeta(s)} \]
La variance est alors donnée par :
\[ \text{Var}(X) = E[X^2] – (E[X])^2 \]
En substituant les valeurs trouvées (voir le calcul de l’espérance fait précédemment) :
\[ \text{Var}(X) = \frac{\zeta(s-2)}{\zeta(s)} – \left(\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\right)^2 \]
\[ \text{Var}(X) = \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) – \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2} \]
Conclusion
Aucun sujet n’est encore tombé aux écrits comme aux oraux sur la loi zêta, ce qui pourrait faire de cette loi une bonne inspiration pour un sujet futur. Si tu souhaites t’entraîner, je ne peux donc que te recommander d’être à l’aise avec toutes les notions de probabilités discrètes du cours et avec les séries de Riemann et les quelques questions vues ci-dessus.
Il existe bien un sujet de prépa qui traite de la question, mais ce dernier est un sujet type Polytechnique, qui va bien trop loin pour un préparationnaire en voie ECG !
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
