La première journée des concours se termine avec la très attendue épreuve de maths approfondies emlyon 2026. Bien que cette épreuve soit un incontournable pour de nombreux candidats, elle reste exigeante et ne doit surtout pas être sous-estimée : une rédaction claire, rigoureuse et soignée est indispensable, les correcteurs étant particulièrement attentifs sur ce point.
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L’analyse du sujet maths approfondies emlyon 2026
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Cette année, nous sommes encore face à deux problèmes indépendants. Le premier traite d’algèbre et d’analyse, tandis que le second porte sur des notions de probabilités. Il convient de noter que les exercices n’étaient pas classique et s’avéraient relativement durs.
Problème 1
Partie 1
La question 1 demande de diagonaliser la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) sous la forme \(A = QDQ^t\) avec \(Q\) orthogonale et \(D\) diagonale. Il s’agit d’une diagonalisation en base orthonormée : on calcule les valeurs propres, puis pour chaque valeur propre un vecteur propre que l’on normalise. Les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre décroissant.
Les questions 2a, 2b, 2c et 2d forment un enchaînement logique autour de la fonction \(\varphi\). En 2a, on développe le produit matriciel définissant \(\varphi(x,y)\) en utilisant les coefficients de \(A\) : on obtient \(\varphi(x,y) = 1 + \frac{2xy}{x^2+y^2}\). La classe \(C^2\) découle alors du fait que \(\varphi\) s’écrit comme une composition de fonctions \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\). En 2b, on annule les dérivées partielles de \(\varphi(x,y) = 1 + \frac{2xy}{x^2+y^2}\). Le calcul du gradient conduit à une condition qui est vérifiée sur une infinité de points : les droites (y = x) et (y = -x) sont des ensembles de points critiques. En 2c, c’est un calcul direct. La question 2d est relativement compliqué et peu commune. L’idée peut être de voir que \(\varphi\) est majoré par 2 en utilisant l’identité remarquable.
Partie 2
La question 3 est un calcul explicite de coefficients de \({}^tBB\) et \(B{}^tB\) en fonction des coefficients de \(B\), puis on en déduit que \(\mathrm{Tr}({}^tBB) = \mathrm{Tr}(B{}^tB)\) en reconnaissant dans les deux cas la somme de tous les carrés des coefficients de \(B\).
La question 4 est une représentation graphique pour \(n = 2\) : \(D = [0,1]^2\) est le carré unité, \(C_1\) est le segment \(x_1 + x_2 = 1\) intersecté avec \(D\), et \(C_2\) est le point \((1,1)\).
La question 5 est certainement la plus difficile. On demande de maximiser \(f_\Lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\) sur \(D \cap C_k\). Comme \(\Lambda \notin \mathrm{Vect}((1,\ldots,1))\), les \(\lambda_i\) ne sont pas tous égaux et la fonction linéaire est non constante sur la contrainte : le maximum est atteint en concentrant le poids sur les \(k\) plus grandes coordonnées, c’est-à-dire au point où \(x_1 = \cdots = x_k = 1\) et \(x_{k+1} = \cdots = x_n = 0\).
La question 6 traite des projections orthogonales de \(\mathbb{R}^n\). En 6a, on écrit \(\mathbb{R}^n = F \oplus F^\perp\) et on travaille dans une base adaptée pour montrer que \(\mathrm{rg}(P) = \mathrm{Tr}(P)\). En 6b, si \(\pi\) est orthogonale, on utilise que \(\|\pi(x)\|^2 = \langle \pi(x), x \rangle \leq \|\pi(x)\|\|x\|\) par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ce qui donne \(\|\pi(x)\| \leq \|x\|\). En 6c, on applique 6b à chaque vecteur de la base canonique pour conclure que \(p_{i,i} \in [0,1]\).
La question 7 est un rappel du théorème spectral pour les matrices symétriques réelles : toute matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormée, ce qui donne l’existence de \(Q\) orthogonale et \(D\) diagonale avec \(A = QDQ^t\).
La question 8 demande de calculer \({}^tMM\). Comme les colonnes \(C_1,\ldots,C_k\) de \(M\) forment une famille orthonormée de \(M_{n,1}(\mathbb{R})\), on obtient directement \({}^tMM = I_k\).
La question 9 est un cas particulier : si \(\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1\}\) alors \(A = \lambda_1 I_n\), et \(\mathrm{Tr}({}^tMAM) = \lambda_1 \mathrm{Tr}({}^tMM) = k\lambda_1\), ce qui ne dépend pas du choix de \(M\).
Les questions 10a, 10b et 10c forment le cœur du problème. En 10a, on pose \(X = {}^tQM\) et \(P = X{}^tX\) : on vérifie que \(P^2 = P\) et \(P^t = P\), ce qui en fait bien une projection orthogonale. En 10b, on identifie \(\ker(P) = \ker({}^tX)\) et on en déduit \(\mathrm{rg}(P) = k\) par le théorème du rang. En 10c, on développe \(\mathrm{Tr}({}^tMAM)\) en utilisant \(A = QDQ^t\) et la propriété de la trace, puis on relie l’expression obtenue à \(\mathrm{Tr}(PD)\) et on majore en utilisant les résultats de la question 5.
La question 10d conclut que le maximum est atteint lorsque les colonnes de \(M\) sont les vecteurs propres associés aux \(k\) plus grandes valeurs propres de \(A\). La question 10e invite à commenter la question 2d à la lumière de ce résultat général : le maximum de \(\varphi\) sur \(S_1\) correspond à la plus grande valeur propre de \(A\), ce qui est cohérent avec l’interprétation de \(\varphi\) comme forme quadratique restreinte à des vecteurs unitaires.
Problème 2
Partie 1
La question 1 porte sur la fonction génératrice \(G_W(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(W=n)t^n\) d’une variable aléatoire discrète à valeurs entières. En 1a, la série converge pour \(t \in [0,1]\) car elle est dominée par \(\sum \mathbb{P}(W=n) = 1\). En 1b, \(G_W\) est croissante car tous ses termes sont positifs. En 1c, la limite en \(1^-\) existe par monotonie et vaut \(\ell = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(W=n) \leq 1\). En 1d, on encadre \(G_W(t)\) entre les sommes partielles et \(G_W(1)\) pour passer à la limite et identifier \(\ell\). En 1e, la continuité en 1 découle du théorème de convergence monotone appliqué à la suite de fonctions croissantes. En 1f, la convergence de la série dérivée \(\sum n\mathbb{P}(W=n)t^{n-1}\) pour \(t \in [0,1[\) s’obtient par comparaison avec une série géométrique convergente.
La question 2 est le lemme de Borel-Cantelli. En 2a, l’inégalité \(1-x \leq \exp(-x)\) se démontre en étudiant la fonction \(x \mapsto \exp(-x) – 1 + x\). En 2b, on utilise l’indépendance des événements et l’inégalité de 2a pour minorer \(\mathbb{P}\!\left(\bigcup_{k=n}^{m} A_k\right)\). En 2c, la divergence de \(\sum \mathbb{P}(A_n)\) implique, via 2b, que \(\mathbb{P}\!\left(\bigcup_{k\geq n} A_k\right) = 1\) pour tout \(n\). On peut ensuite utiliser le théorème de la limite monotone (continuité décroissante) et conclure.
La question 3 sur les vecteurs \(U_n\) et \(V_{n,k}\) se traite en calculant explicitement les probabilités : les deux vecteurs ont la même loi car les \(W_i\) sont i.i.d., donc les sommes cumulées ont la même distribution quelle que soit l’origine choisie. Une rédaction parfaite est attendue mais reste difficile.
La question 4 porte sur la convergence d’un produit de Cauchy de deux séries convergentes à termes positifs. En 4a, on encadre \(\sum_{k=1}^n c_k\) par le produit des sommes partielles. En 4b, on passe à la limite et on identifie la somme de la série \(\sum c_k\) comme le produit des sommes des deux séries de départ. Cette question a déjà pu être traités par certains élèves en classe prépa.
Partie 2
La question 5 est un rappel de cours : \(\mathbb{E}(X_n) = 0\) et \(\mathbb{V}(X_n) = 1\) par symétrie et calcul direct. Par linéarité et indépendance, \(\mathbb{E}(S_n) = 0\) et \(\mathbb{V}(S_n) = n\).
La question 6 demande de montrer que \(\frac{S_n}{n}\) converge en probabilité vers 0 : c’est une application directe de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en utilisant \(\mathbb{V}(S_n/n) = 1/n \to 0\).
La question 7 est une question de Python : en 7a, on simule \(X_1\) en tirant uniformément dans \(\{-1, 1\}\). En 7b, on cumule \(n\) simulations de \(X_1\) pour obtenir \(S_n\).
La question 8 réécrit \(S_n\) en fonction de variables de Bernoulli \(\frac{X_k+1}{2}\) qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\).
La question 9 exploite la parité : en 9a, si \(i\) et \(n\) n’ont pas la même parité, \(\mathbb{P}(S_n = i) = 0\) car \(S_n\) a la même parité que \(n\). En 9b, on dénombre les chemins favorables parmi les \(2^n\) chemins possibles à l’aide d’un coefficient binomial.
La question 10 utilise la formule de Stirling pour obtenir un équivalent de \(\mathbb{P}(S_{2n} = 0) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\). La série \(\sum \mathbb{P}(S_{2n} = 0)\) diverge donc, et on conclut par le lemme de Borel-Cantelli de la question 2c que la marche repasse presque sûrement une infinité de fois par 0.
La question 11 introduit la variable \(T\), premier temps de retour positif en 1. En 11a, \(\mathbb{P}(T=1) = \mathbb{P}(X_1 = 1) = \frac{1}{2}\). En 11b, l’événement \([T=n]\) correspond à rester dans \(]-\infty, 0]\) jusqu’au rang \(n-1\) puis atteindre 1 au rang \(n\). En 11c, pour \(n\) pair, \([T=n]\) est impossible car \(S_n\) et \(n\) ont la même parité et \(S_n = 1\) est impair.
La question 12 introduit l’événement \(R_k\) qui décrit un scénario précis de trajectoire : le premier pas est \(-1\), la marche reste dans \(]-\infty, -1]\) jusqu’au rang \(k\), puis remonte à 0 au rang \(k+1\). En 12b, on utilise la question 3 (équidistribution de \(U_n\) et \(V_{n,k}\)) pour relier \(\mathbb{P}(R_k)\) à \(\mathbb{P}(T=k)\). En 12c et 12d, on décompose l’événement \([T = n+1]\) selon la valeur de \(k\) et on exploite l’indépendance des incréments pour obtenir la relation de convolution \(\mathbb{P}(T=n+1) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(T=k)\mathbb{P}(T=n-k)\).
La question 13 exploite la relation de convolution de 12d pour relier \(G_T(t)^2\) à \(G_T(t)\) via la question 4b. En 13b, l’équation \(tG_T(t)^2 = 2G_T(t) – t\) se résout comme une équation du second degré en \(G_T(t)\) : on sélectionne la racine compatible avec \(G_T(0) = 0\). En 13c, on évalue en \(t=1\) pour obtenir \(G_T(1) = 1\), puis on en déduit \(\mathbb{P}(T = -1) = 0\). En 13d, la dérivée \(G_T'(t)\) diverge en \(1^-\), ce qui signifie que \(\mathbb{E}(T) = +\infty\) : la marche revient bien presque sûrement en 1, mais sans espérance finie du temps de retour.
La question 14 conclut par Python et conjecture : la fonction mystere calcule des moyennes empiriques de \(T\) qui divergent, ce que l’on conjecture à partir des valeurs affichées très variables. La question 14c invite à relier l’inexistence de \(\mathbb{E}(T)\) au fait que \(G_T'(t) \to +\infty\) en \(1^-\), conformément au résultat de 13d.
