Maths ESCP ECT 2026 – Analyse du sujet

Tu peux désormais découvrir l’analyse de l’épreuve de maths ESCP ECT 2026 ! Réputée plus exigeante que les autres épreuves de maths en ECT, elle reste néanmoins accessible à une très bonne note : il n’est pas nécessaire de traiter l’intégralité du sujet pour viser 20, comme souvent en mathématiques.

Le sujet

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Analyse du sujet des maths ESCP ECT 2026

  L’épreuve de mathématiques ESCP pour la voie ECT est un rendez-vous crucial du concours BCE. Avec des coefficients souvent décisifs (entre 4 et 6 selon les écoles), ce cru 2026 ne déroge pas à la règle : il demande de la rigueur, une excellente gestion du temps et une capacité à naviguer entre l’abstraction matricielle et le concret des probabilités.

Commentaires généraux

Le sujet se divise en trois exercices indépendants, balayant une grande partie du programme. On y retrouve une structure désormais classique pour l’ESCP :

• Exercice 1 : Un mix Algèbre et analyse (puissances de matrices et suites).
• Exercice 2 : Un problème de dénombrement et de variables aléatoires (le “problème du collectionneur”).
• Exercice 3 : Une étude approfondie de la loi de Laplace, mêlant analyse, densités et programmation Python.

Le sujet est long (61 questions !). La clé de la réussite résidait dans l’efficacité sur les premières parties de chaque exercice avant de s’attaquer aux questions techniques de fin de parcours. Ce point est important : le sujet est certes comparé aux années antérieures difficiles mais il y avait des points à prendre un peu prêt partout même lorsque les maths est votre bête noire !

Exercice 1 : Algèbre et puissances de matrices

Cet exercice repose sur l’étude de deux matrices et est sans doute l’exercice le plus simple du sujet !

Partie I

On commence doucement avec la recherche des racines d’un polynôme annulateur \(R(x) = (x^2 – 4)(x – 2)\). Les valeurs propres possibles sont donc \( {-2, 2} \). Ici, un point attire notre attention : l’usage du concept de spectre. Le spectre d’une matrice est l’ensemble des valeurs propres de la matrice mais ce concept n’apparaît pas explicitement dans le programme ECT.

Parties II et III

La méthode est ici très guidée. On décompose \(T^2\) sous la forme \(I_3 + N\) pour ensuite calculer les puissances de \(T\). Cela permet d’utiliser la formule du binôme de Newton de manière simplifiée. La difficulté résidait dans le passage aux puissances impaires \(T^{2n+1}\) et l’extension aux puissances négatives pour \(T^{-1}\), qui restent quand même peu familières pour un ECT. Mais là encore, au-delà de certaines questions qui peuvent paraître techniques, il y avait des points faciles à prendre dans les questions 10, 11 et 12 de cette partie 3 déroutante.

Partie IV

On termine par une relation de type \(M = aPTP^{-1}\). C’est une structure de diagonalisation (ou réduction) qui permet de transférer les propriétés de calcul de \(T\) vers \(M\). La récurrence finale pour \(M^n\) vient couronner cette étude technique. Partie assez classique dans les sujets ECT.

Exercice 2 : Le temps moyen du collectionneur

Un exercice de probabilité dont le contexte a pu dérouter les étudiants. Ce-dernier scénarise l’achat de cartes pour compléter une collection de n objets.

Partie I : Étude de suite

Avant les probabilités, un détour par l’analyse est nécessaire pour étudier la suite \(u_j = H_j – \ln(j)\). Questions 20 à 22 : analyse de fonction classique pour montrer que \(\ln(1+x)\le x\). Questions 23 à 28 : étude de la convergence de la suite \(u_j = H_j – \ln(j)\). La partie du sujet ESCP 2024 sur les séries harmoniques a pu aider certains candidats. Avant les probabilités, un détour par l’analyse est nécessaire pour étudier la suite \(u_j = H_j – \ln(j)\)

Partie II : Variables aléatoires

L’enjeu principal est de comprendre que le temps total est la somme de variables suivant des lois géométriques. Question 29 : justification de la décomposition \(N_n = \sum_{k=1}^{n} X_k\) C’est la question fondamentale de modélisation.

• \(X_1\) est le nombre d’achats pour obtenir la 1ʳᵉ carte (toujours égal à 1 car la première carte est forcément nouvelle)
• \(X_2\) est le nombre d’achats supplémentaires pour obtenir une 2ᵉ carte différente de la première
• De manière générale, \(X_k\) est le temps d’attente entre l’obtention de la \((k-1)\)-ième carte et la \(k\)-ième carte distincte
• Logique : le temps total \(N_n\) est la somme de ces temps d’attente successifs

Question 30 : Loi de \(X_1\) Pour \(X_1\) , on achète une carte alors qu’on en possède 0. La probabilité d’avoir une nouvelle carte est . Donc  est une variable certaine : \(P(X_1 = 1) = 1, E(X_1) = 1, V(X_1) = 0.\) Questions 31 et 32 : loi de \(X_1\). Une fois qu’on a 1 carte, il en reste \(n – 1\) nouvelles sur un total de \(n\) . Chaque achat est une épreuve de Bernoulli où le « succès » est de tirer une carte qu’on n’a pas encore. La probabilité de succès est \(p_2 = \frac{n – 1}{n}\) \(X_2\) suit donc une loi géométrique \(\mathcal{G}(p_2)\). \(E(X_2) = \frac{1}{p_2} = \frac{n}{n – 1}, V(X_2) = \frac{1 – p_2}{p_2^2}.\) NB : Là, il était crucial de prendre le temps de comprendre le fonctionnement de la loi de \(X_2\) pour ensuite arriver à une généralisation au niveau des \(X_k\) Questions 33 et 34 : généralisation à \(X_k\). Si on possède déjà \(K – 1\) cartes distinctes, il y a \(n-(k-1)\) cartes qu’on ne possède pas encore. La probabilité d’obtenir une nouvelle carte à chaque achat est :

\(p_{n,k} = \frac{n – k + 1}{n}\)

La variable \(X_k\) représente le rang du premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(P_n,k\). Conclusion :  

\[ X_k \hookrightarrow G\left(\frac{n-k+1}{n}\right) \]

Question 35: limite de l’espérance \( E(N_n) \) et interprétation. En réindexant la somme (en posant \(j=n-k+1\)), on obtient :

\(E(N_n) = n \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} = nH_n,\)

Où \(H_n\) est la somme harmonique. D’après la Partie I, on sait que \(\lim_{n \to +\infty} \frac{H_n}{\ln n} = 1\) Résultat :

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{E(N_n)}{n \ln n} = 1\)

Par linéarité de l’espérance : \[ E(N_n) = \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n-k+1} \] En réindexant la somme (en posant \( j = n – k + 1 \)), on obtient : \[ E(N_n) = n \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} = nH_n, \] où \( H_n \) est la somme harmonique. D’après la Partie I, on sait que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{H_n}{\ln n} = 1 \). Résultat : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{E(N_n)}{n \ln n} = 1 \]

Partie III : SQL

Petite pause technique avec des requêtes SQL sur une base de données “Pokemon”. Les questions sont classiques (Clé primaire, SELECT DISTINCT, WHERE avec conditions sur les points de vie). C’est ici qu’il fallait glaner des points facilement.

Exercice 3 : La loi de Laplace et simulation Python

C’est le gros morceau du sujet, traitant d’une loi à densité définie par morceaux :

\(f(x) = \begin{cases} Me^{-a(x-m)} & \text{si } x \ge m, \\ Me^{b(x-m)} & \text{si } x < m. \end{cases}\)

Parties I & II : Densité et répartition

Il fallait d’abord déterminer \(M\)  par intégration sur \(\mathbb{R}\) pour que \(\int_{\mathbb{R}} f = 1\). L’expression de la fonction de répartition \(F_X\) demande de la vigilance sur les bornes d’intégration selon que \(X<m\) ou \(x \ge m\).

Parties III & IV : Simulation Python

Le sujet propose deux méthodes pour simuler cette loi : Première méthode par transformation : Utilisation d’une loi exponentielle et d’un tirage de Bernoulli pour choisir le “côté” de la courbe. Deuxième méthode de l’inversion : Utilisation de la fonction réciproque de la fonction de répartition (méthode de la transformée inverse). Le script Python à compléter demandait une bonne compréhension de numpy.log et des structures if/else.

Partie V : Convergence

L’exercice se termine sur une suite de variables \((X_n)\) suivant des lois de Laplace de paramètres de plus en plus grands. L’objectif est de montrer, via l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la suite converge en probabilité vers 0. Un final théorique très élégant qui sépare les meilleurs candidats des autres.   Le mot de la fin : Un sujet complet, sans calculatrice comme d’habitude, qui récompense ceux qui ont su rester concentré face à la densité de l’exercice 3 et qui maîtrisent parfaitement les formules de sommation de l’exercice 1. Ici, ce qui est aussi testé, c’est la capacité du candidat à garder son sang froid et à trouver les questions accessibles !  

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