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Analyse du sujet de maths approfondies ECRICOME 2026
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Exercice 1 : Intégrales impropres, intégrale de Frullani et méthodes numériques
Question 1a.On peut utiliser un développement limité de \(e^{-t}\) au voisinage de 0 et montrer que \(\frac{1-e^{-t}}{t} \to 1\), donc l’intégrande se prolonge par continuité en 0 et l’intégrale converge.
Question 1b. On peut utiliser ici un critère de comparaison pour s’en sortir
Question 2a. En 0, un développement limité donne \(e^{-t} – e^{-at} \sim (a-1)t\) au voisinage de 0, donc \(\frac{e^{-t}-e^{-at}}{t} \to a-1\) : l’intégrande se prolonge par continuité en 0 et l’intégrale ne pose aucun problème en 0. En \(+\infty\), on majore \(\left|\frac{e^{-t}-e^{-at}}{t}\right| \leq \frac{e^{-t} + e^{-at}}{t} \leq e^{-t} + e^{-at}\) pour \(t \geq 1\), et ces deux exponentielles sont intégrables sur \([1,+\infty[\) : l’intégrale converge par comparaison.
Question 2b. Pour \(a \leq 0\), on a \(-at \geq 0\) donc \(e^{-at} \geq 1\) pour tout \(t \geq 0\). Ainsi \(\frac{e^{-t}-e^{-at}}{t} \leq \frac{e^{-t}-1}{t}\), mais surtout \(e^{-at} \geq 1\) implique que l’intégrande ne tend pas vers 0 en \(+\infty\) : on a \(\frac{e^{-t}-e^{-at}}{t} \geq \frac{1-e^{-t}}{t} \geq \frac{1}{2t}\) pour \(t\) assez grand, et \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{2t},\mathrm{d}t\) diverge. L’intégrale diverge donc par comparaison avec la série harmonique.
Question 3a. On peut utiliser le changement de variable \(u = \lambda t\), ce qui fait apparaître \(\ln(a)\) et une intégrale \(\int_x^{ax} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\).
Question 3b. On fait tendre \(x \to +\infty\).
Question 4. Changement de variable classique
Question 5a. La limite \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \varphi\!\left(\frac{k}{n}\right)\) est la définition même d’une somme de Riemann pour \(\varphi\).
Question 5b. Il suffit de faire une boucle for sur \(k \in \{0, \ldots, n-1\}\) et faire attention de traiter séparément les cas \(u = 0\) et \(u = 1\) (où \(f\) vaut 0 et 1 respectivement).
Question 5c. La fonction prog utilise une méthode de Monte-Carlo : elle génère \(n\) réalisations indépendantes \(U_k\) de la loi uniforme sur \([0,1]\) et calcule la moyenne empirique de \(f(U_k)\).
Question 5d. Il fallait comparer la courbe qui convergeait le mieux.
Exercice 2 : Endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\) et polynômes de Gegenbauer
Question 1a. La matrice \(A\) est triangulaire supérieure donc ses valeurs propressont directes. On obtient \(\mathrm{Sp}(A) = \{0, 5, 12\}\).
Question 1b. La matrice \(A\) admet trois valeurs propres distinctes dans \(\mathbb{R}\), ce qui suffit à garantir la diagonalisabilité.
Question 1c. Pour chaque valeur propre \(\lambda \in \{0, 5, 12\}\), on résout \((A – \lambda I)v = 0\) pour obtenir un vecteur propre associé. Les colonnes de \(V\) sont ces vecteurs propres, ordonnés selon les valeurs propres croissantes de \(D\).
Question 2a. Le calcul est purement mécanique. Question 2b. Le calcul de 2a) montre que \(\varphi\) préserve le degré et que le coefficient dominant de \(\varphi(P_d)\) vaut \(d(d+4)\) : par linéarité, tout polynôme unitaire de degré \(d\) a pour image un polynôme de degré \(d\) de coefficient dominant \(d(d+4)\).
Question 3a. Question classique, mais attention aux justifications.
Question 3b. Les images \(\varphi(P_k)\) fournissent les colonnes de la matrice dans la base canonique \((P_0, \ldots, P_n)\).
Question 3c. On utilise le caractère triangulaire de la matrice ici.
Question 3d. On restreint \(\varphi\) à \(\mathbb{R}_2[x]\) et on lit la matrice de \(\Psi\) sur les trois premières colonnes.
Question 4a. On utilise le caractère triangulaire de la matrice.
Question 4b. La fonction \(x \mapsto x(x+4)\) est strictement croissante sur \(\mathbb{N}\) (dérivée \(2x+4 > 0\)), donc les \(n+1\) valeurs \(k(k+4)\) sont deux à deux distinctes.
Question 4c. Un endomorphisme d’un espace de dimension \(n+1\) admettant \(n+1\) valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Question 4d. Chaque valeur propre est simple, donc chaque sous-espace propre est de dimension 1. L’unicité du polynôme unitaire \(G_k\) engendrant \(E_{k(k+4)}(\varphi)\) est immédiate.
Question 4e. On utilise la question 2a).
Question 4f. On calcule explicitement \(\varphi\!\left(x^2 – \frac{1}{6}\right)\) en utilisant la linéarité et les résultats de 2a).
Question 4g. On raisonne par l’absurde pour cette question.
Question 5a. On dérive plusieurs fois.
Question 5b. On substitue dans l’expression de \(\varphi\) : on obtient \(\varphi(Q)(x) = \varphi(P)(-x) = k(k+4)Q(x)\).
Question 5c. Il faut s’intéresser aux coefficients dominants ici.
Question 6. Question très classique.
Question 7a. On applique le changement de variable donné.
Question 7b. Il fallait penser aux formules \(\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\).
Question 7c. On intègre terme à terme sur \([-\pi/2, \pi/2]\).
Question 8a. Calcul de dérivés
Question 8b. On intègre par parties \(\langle \varphi(P), Q \rangle\) en utilisant la dérivée calculée en 8a).
Question 8c. L’expression obtenue est symétrique en \(P\) et \(Q\) : \(\varphi\) est un endomorphisme symétrique pour ce produit scalaire.
Question 8d. Un endomorphisme symétrique a ses sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux orthogonaux.
Question 8e. Conséquence directe de 8d) : \(G_k\) est orthogonal à \(G_0, \ldots, G_{k-1}\), donc à tout polynôme de \(\mathbb{R}_{k-1}[x]\).
Question 9a. La vérification est immédiate en utilisant la commutativité du produit dans \(\mathbb{R}\).
Question 9b. C’est la décomposition dans la base orthogonale \((G_0, \ldots, G_d)\) de \(\mathbb{R}_d[x]\).
Question 9c. Le polynôme \(xG_k\) est de degré \(k+1\) : on le décompose dans la base \((G_0, \ldots, G_{k+1})\). Pour \(j \leq k-2\), le résultat de 9a) et l’orthogonalité de 8e) donnent \(\langle xG_k, G_j \rangle = \langle G_k, xG_j \rangle = 0\) car \(xG_j \in \mathbb{R}_{k-1}[x]\), ce qui justifie l’existence du triplet \((\alpha_k, \beta_k, \gamma_k)\).
Question 9d. Il faut utiliser les questions précédentes
Question 9e. On applique la relation de récurrence avec \(k = 2\) et \(\gamma_2 = \frac{2 \times 5}{4 \times 4 \times 3} = \frac{5}{24}\).
Question 10a. On utilise la boucle sur \(k \in \{0, \ldots, n-1\}\) et on pose \texttt{Q[k+1] = P[k]}.
Question 10b. On initialise \(G_0\) et \(G_1\), puis créer une boucle \(G_{k+1} = xG_k – \gamma_k G_{k-1}\) en utilisant la fonction Prod.
Problème
Partie I
Les questions 1a et 1b sont des rappels de cours sur les sommes géométriques et leur dérivée. La question 1c identifie la loi de \(Y\) comme une loi géométrique de paramètre \(\frac{d}{d+1}\) : espérance et variance sont à connaître par cœur. La question 1d est une simple application de l’indépendance des lancers.
Les questions 2a et 2b reposent toutes deux sur la propriété de manque de mémoire des variables géométriques et l’indépendance des lancers. On applique ici le calcul d’une espérance conditionnelle.
La question 3 est le cœur de la partie I. En 3a, on applique la formule des espérances totales en conditionnant par rapport à \(Y\), en distinguant les événements \([Y = i]\) pour \(i \in [![1,r]!]\) et \([Y > r]\), puis on substitue les résultats de la question 2. En 3b, on résout l’équation obtenue grâce au résultat de 1b.
Partie II
La question 4 est un rappel de cours : \(U_n\) suit la loi uniforme sur \([\![0,d]\!]\) d’espérance \(\frac{d}{2}\). Les questions 5a, 5b, 5c et 5d utilisent la formule de convolution pour calculer la loi de \(S_2 = U_1 + U_2\) : on dénombre les paires \((i, k-i)\) admissibles, ce qui donne une loi triangulaire (HP).
La question 6 est essentiellement une question de Python et de simulation. En 6a, on cumule des tirages aléatoires jusqu’à ce que \(S_n \geq d\). En 6b, on reconnaît la loi des grands nombres derrière la moyenne empirique de \(N\) réalisations de \(T\). En 6c, la figure invite à conjecturer \(\mathbb{E}(T) \Rightarrow e\).
La question 7 est une question de cours générale : elle établit la formule \(\mathbb{E}(V) = \sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(V \geq n)\) par un argument de télescopage et de passage à la limite, en contrôlant le terme résiduel \(N\,\mathbb{P}(V \geq N+1)\) grâce à la convergence de la série.
La question 8 est la plus exigeante de la partie. En 8a et 8b, on calcule les dérivées successives de \(h\) et on majore le reste intégral de Taylor. En 8c, on conclut à la convergence de la série \(\sum_{n \geq 0}(n+r)\cdots(n+1)x^n\) grâce à ce contrôle du reste. En 8d, on applique la formule de 7d à \(T\) en substituant la formule admise de \(\mathbb{P}(T \geq n)\), et on reconnaît la série de 8c avec \(r = d\) et \(x = \frac{1}{d+1}\) pour obtenir \(\mathbb{E}(T) = \left(\frac{d+1}{d}\right)^d\). En 8e, on reconnaît la limite classique \(\left(1 + \frac{1}{d}\right)^d \to e\), ce qui confirme la conjecture de 6c.
Partie III
La question 9 introduit la densité de \(S_2\) dans le cadre continu par convolution \(f_2 = f_1 * f_1\).
La question 10 généralise par récurrence : on calcule \(f_{n+1} = f_n * f_1\) sur \([0,d]\) en intégrant directement, ce qui donne \(f_{n+1}(x) = \frac{x^n}{n!\,d^{n+1}}\).
La question 11 est le résultat clé de la partie : on intègre \(f_n\) sur \([0,d[\) et on obtient \(\mathbb{P}(S_n < d) = \frac{1}{n!}\), résultat remarquable qui prépare directement la question suivante.
La question 12 conclut le problème. En 12b, on observe que \([T > n] = [S_n < d]\). En 12c, on applique la formule de 7d pour écrire \(\mathbb{E}(T) = \sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(S_n < d) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} = e\) : la série exponentielle établit simultanément l’existence de l’espérance et sa valeur.
