Ça y est, les maths, c’est fini pour toi ! On espère que cette épreuve de maths EDHEC s’est bien passée et que tu es satisfait de ta performance. Dans cet article, tu peux également retrouver l’analyse complète du sujet maths approfondies EDHEC 2026.
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L’analyse du sujet Maths approfondies EDHEC 2026
NB : Tous nos corrigés/analyses sont rédigés sans IA, par des professeurs experts dans la matière, conscients des attendus du programme ECG/ECT.
On est là face à un sujet EDHEC relativement classique. Très intéressant pour les étudiants car aborde toutes les notions du programme. Il y avait des points à aller chercher partout dans le sujet.
Exercice 1
Question 1 : on simule \(Z = X_1 X_2\) en tirant deux réalisations indépendantes de la loi uniforme sur \([0,1]\) avec rd.random() et en renvoyant leur produit.
Question 2 : \(X_1\) et \(X_2\) ont des espérances, donc \(Z\) aussi. Par indépendance, \(\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(X_1)\mathbb{E}(X_2)\). Pour la variance, même raisonnement : on prouve l’existence de \(\mathbb{E}(Z^2) = \mathbb{E}(X_1^2)\mathbb{E}(X_2^2)\) et on conclut.
Question 3 : pour trouver \(F(x) = \mathbb{P}(\ln(X_1) \leq x)\), on remarque que cela revient à \(\mathbb{P}(X_1 \leq e^x)\). Il faut distinguer les cas \(x < 0\) et \(x \geq 0\) selon les valeurs possibles de \(X_1 \in [0,1]\). La densité se déduit par dérivation en 3b.
Question 4 : en 4a, le plus naturel est de passer par le produit de convolution pour retrouver \(h\). En 4b, on intègre \(h\) pour obtenir \(H\). En 4c, le changement de variable \(Z = e^{Y_1+Y_2}\) donne la fonction de répartition de \(Z\), et on vérifie que \(f_Z(x) = -\ln(x)\) sur \(]0,1]\) est bien une densité.
Question 5 : en 5a, intégration par parties avec \(u = \ln(x)\) et \(v’ = x^n\). Attention à justifier que le terme de bord en 0 est nul. En 5b, on reconnaît \(\mathbb{E}(Z) = \int_0^1 x f_Z(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\mathbb{E}(Z^2) = \int_0^1 x^2 f_Z(x)\,\mathrm{d}x\) comme des intégrales du type 5a.
Exercice 2
Question 1 : récurrence pour montrer que \(u_n \in [0,1]\) à chaque rang, ce qui garantit que la racine carrée est bien définie, et que \(u_{n+1} \neq 0\) pour que \(v_{n+1}\) ait un sens.
Question 2 : on initialise \(u = 0\) et \(v = 2\), puis on itère les deux relations pour \(k\) allant de 2 à \(n\).
Question 3 : la clé est de reconnaître la formule \(\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\), ce qui donne directement \(\alpha_{n+1} = \frac{\alpha_n}{2}\), soit \(\alpha_n = \frac{\pi}{2^n}\). Pour \(v_n\), on montre par récurrence en utilisant \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) que \(v_n = 2^n\sin\!\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\), et la limite vaut \(\pi\) par la limite classique \(\frac{\sin t}{t} \to 1\).
Question 4 : on substitue \(t = \frac{\pi}{2^n}\) dans le développement limité de \(\sin\) à l’ordre 5 donné dans l’énoncé, et on développe \(2^n\sin(t)\) en puissances de \(\frac{1}{4^n}\) pour identifier \(a\), \(b\) et \(c\).
Question 5 : la méthode de Richardson pose \(w_n = \frac{4v_{n+1} – v_n}{3}\). La limite de \(w_n\) est encore \(\pi\), mais le terme dominant dans \(w_n – \pi\) est en \(\frac{1}{4^{2n}}\) au lieu de \(\frac{1}{4^n}\) pour \(v_n – \pi\) : \((w_n)\) converge donc bien plus vite. En 5c, le développement de 4 permet de quantifier ce gain en calculant un équivalent de \(\frac{w_n – \pi}{v_n – \pi}\).
Question 6 : généralisation pour une suite \((x_n)\) vérifiant \(x_n \underset{n\to+\infty}{=} a + bq^n + cr^n + o(r^n)\). En 6a, on cherche une combinaison linéaire de \(x_n\) et \(x_{n+1}\) qui tue le terme en \(q^n\) : le coefficient \(d\) se trouve en résolvant le système obtenu. En 6b, on retrouve que \(x_n \underset{n\to+\infty}{=} a + bq^n + o(q^n)\) à partir de la définition. En 6c, \((y_n)\) converge vers \(a\) plus vite car son terme dominant est en \(r^n\) au lieu de \(q^n\).
Exercice 3
Partie 1
Question 1 : à l’instant \(k\), le mobile se place uniformément sur \(\{0,1,\ldots,k\}\), donc \(X_k\) suit la loi uniforme sur \([\![0,k]\!]\). Espérance \(\frac{k}{2}\), variance \(\frac{k(k+2)}{12}\).
Question 2 : en 2a, \([Y = n]\) est l’événement \([X_1 \neq 0] \cap \cdots \cap [X_{n-1} \neq 0] \cap [X_n = 0]\). En 2b, on utilise l’indépendance des \(X_k\) et \(\mathbb{P}(X_k = 0) = \frac{1}{k+1}\) pour obtenir \(\mathbb{P}(Y = n) = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\). En 2c, la somme est télescopique et vaut 1, ce qui donne \(\mathbb{P}(Y = 0) = 0\). En 2d, la série \(\sum n\,\mathbb{P}(Y=n)\) est équivalente à la série harmonique : elle diverge, et \(Y\) n’admet pas d’espérance.
Partie 2
Question 3 : on simule \(U_n\) avec rd.randint(0,n), puis \(Z_n\) conditionnellement à \(U_n = k\) comme une variable géométrique de paramètre \(1 – \frac{k}{n}\).
Question 4 : en 4a, la formule des probabilités totales en conditionnant par \(U_n\) donne \(\mathbb{P}(Z_n = i) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{i-1} – \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^i\). Ce sont deux sommes de Riemann. En 4b, on passe à la limite et on reconnaît \(\int_0^1 t^{i-1}\,\mathrm{d}t – \int_0^1 t^i\,\mathrm{d}t = \frac{1}{i} – \frac{1}{i+1}\). En 4c, c’est exactement la loi de \(Y\) : \((Z_n)\) converge en loi vers \(Y\).
Question 5 : espérance totale en conditionnant par \(U_n\), puis espérance d’une loi géométrique de paramètre \(1 – \frac{k}{n}\), ce qui donne \(\mathbb{E}(Z_n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\).
Question 6 : en 6a, l’inégalité \(\frac{1}{k+1} \leq \ln(k+1) – \ln(k) \leq \frac{1}{k}\) s’obtient en intégrant \(\frac{1}{t}\) sur \([k, k+1]\) et en l’encadrant par ses valeurs aux bornes. En 6b, on somme pour obtenir \(\ln(n) + \frac{1}{n} \leq \mathbb{E}(Z_n) \leq \ln(n) + 1\). En 6c, \(\mathbb{E}(Z_n) \sim \ln(n)\), ce qui est cohérent avec l’absence d’espérance de \(Y\).
Problème
Partie 1
Question 1 : en 1a, on prend \(X\) vecteur propre de \(A\) associé à \(\lambda\) : \(AX = \lambda X\) donne directement \(\lambda = \frac{{}^tXAX}{{}^tXX}\). En 1b, si \(A\) est positive, \({}^tXAX \geq 0\) et \({}^tXX > 0\), donc \(\lambda \geq 0\).
Question 2 : en 2a, le théorème spectral garantit la diagonalisation orthogonale de toute matrice symétrique réelle. En 2b, le changement de variable \(Y = {}^tPX\) donne \({}^tXAX = {}^tYDY = \sum_i \lambda_i Y_i^2 \geq 0\) quand tous les \(\lambda_i\) sont positifs. En 2c, \(A\) est donc positive.
Question 3 : les questions 1 et 2 donnent l’équivalence : matrice symétrique positive si et seulement si toutes les valeurs propres sont positives.
Partie 2
Question 4 : en 4a, \(\Delta\) est bien définie car tous les \(\lambda_i \geq 0\). En 4b, \(B = P\Delta\,{}^tP\) est symétrique et \(B^2 = P\Delta^2\,{}^tP = PD\,{}^tP = A\), donc \(B\) est bien une racine carrée de \(A\). Sa positivité vient de la partie 1.
Question 5 : les polynômes de Lagrange \(L_i(x) = \prod_{k \neq i} \frac{x – \mu_k}{\mu_i – \mu_k}\) vérifient \(L_i(\mu_i) = 1\) et \(L_i(\mu_j) = 0\) pour \(i \neq j\) par substitution directe.
Question 6 : en 6a, \(S(\mu_k) = \sqrt{\mu_k}\) par les propriétés des \(L_i\), puis \(S(\lambda_i) = \sqrt{\lambda_i}\) car chaque \(\lambda_i\) est l’un des \(\mu_k\). En 6b, \(A^k = PD^k\,{}^tP\) se montre par récurrence en utilisant \({}^tPP = I_n\). En 6c, la linéarité donne \(S(A) = P\,S(D)\,{}^tP = P\Delta\,{}^tP = B\).
Partie 3
Question 7 : en 7a, \(C^2 = A\) implique \(CA = CC^2 = C^2C = AC\). En 7b, on remonte à \(A^kC = CA^k\) par récurrence, puis par linéarité \(BC = CB\).
Question 8 : c’est la partie la plus technique. En 8a, \(BC = CB\) se traduit directement en \(b \circ c = c \circ b\). En 8b, pour \(x \in E_i\), la commutation donne \(b(c(x)) = \sqrt{\mu_i}c(x)\), donc \(c(x) \in E_i\). En 8c, \(c_i\) est symétrique comme restriction de \(c\) à un sous-espace stable. En 8d, \(c_i\) symétrique implique qu’il est diagonalisable en base orthonormée, ce qui donne une base de \(E_i\) de vecteurs propres communs à \(b\) et \(c\). En 8e, on réunit les bases de tous les \(E_i\) pour obtenir une base de \(\mathbb{R}^n\) diagonalisant simultanément \(b\) et \(c\). En 8f, dans cette base, \(c\) et \(b\) ont les mêmes valeurs propres sur chaque \(E_i\) car \(c^2 = b^2 = A\) et les valeurs propres sont positives, donc \(C = B\).
Partie 4
Question 9 : même schéma qu’en parties 1 et 2, en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
Question 10 : en 10a, \({}^tN = M – I_n = N\). En 10b, si \(N\) est positive, les valeurs propres de \(M = N + I_n\) sont toutes dans \([1,+\infty[\), donc \(M\) est définie positive et inversible. Les valeurs propres de \(M^{-1}\) sont dans \(]0,1]\), donc celles de \(I_n – M^{-1}\) sont dans \([0,1[\) : \(I_n – M^{-1}\) est positive.
Question 11 : longue, mais chaque sous-question réutilise les outils précédents.
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