Quatre exos de probabilités classiques en maths ECG – niveau parisiennes (#2)

Autant il est assez communément admis auprès des prépas que le travail sur les épreuves EMLyon, Edhec et Ecricome repose avant tout sur la répétition (éclairée par la compréhension, bien sûr…), autant s’attaquer aux épreuves parisiennes en effraie et rebute beaucoup, vu l’immensité de la tâche, illustrée par l’immense variété des sujets disponibles dans les annales.

Si l’on ne peut que réitérer ici les conseils présents dans d’autres articles de Major-Prépa, notamment à propos de l’importance d’une maîtrise parfaite du cours, à force d’écrire les corrigés de ces épreuves, on peut repérer certaines parties récurrentes, certaines questions classiques qui sous-tendent beaucoup de problèmes mathématiques de ce niveau, en particulier en probabilités.

Les quatre exercices qui suivent ont donc pour but de présenter autant de grands classiques des épreuves parisiennes en ECE (qu’on pourra sans doute transposer aux ECG-Maths Appliquées l’an prochain) : de quoi travailler ses gammes avant de s’attaquer à un vrai sujet entier !

Exercice 1 : loi du minimum et du maximum de \(n\) v.a.r.i.i.d., cas ultra-classique de la loi exponentielle.

On retrouve cet exercice un peu partout, y compris dans des épreuves type “province”, mais son principe est aussi repris dans le sujet HEC ECE 2015 : une bonne mise en jambes!

Un système est constitué de \(n\) composants. On suppose que les variables aléatoires \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) mesurant le temps de bon fonctionnement de chacun des \(n\) composants sont indépendantes, de même loi expontielle de paramètre \(\lambda\).

1. Montage en série
   On suppose que le système fonctionne correctement si et seulement si tous les composants eux-mêmes fonctionnent correctement, et on note \(S_n\) la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système.
   1. Pour \(x \in \mathbb{R}\), calculer \(\mathbb{P}(S_n > x)\) après avoir exprimé l’événement \([S_n > x]\) en fonction d’événements liés aux variables aléatoires \(X_1,\ldots,X_n\).
   2. En déduire la fonction de répartition de \(S_n\); reconnaître sa loi et donner sans calcul \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
2. Montage en parallèle
   On suppose maintenant que le système fonctionne correctement si l’un au moins des composants fonctionne correctement, et on note \(T_n\) la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système.
   1. Calculer, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), la probabilité \(P(T_n \leq x)\).
   2. En déduire que \(T_n\) est u variable à densité, et déterminer une densité \(f_n\) de \(T_n\) .
   3. Justifier que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(T_n\) admet une espérance.
   4. Vérifier : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \forall x \in \mathbb{R}^+,\quad f_{n+1}(x) – f_n(x) = -\frac{1}{\lambda(n+1)}f’_{n+1}(x)\).
   5. Montrer ensuite, à l’aide d’une intégration par parties :
      $$ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \int_0^{+\infty} x\big(f_{n+1}(x) – f_n(x) \big) \mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda(n+1)}\int_0^{+\infty} f_{n+1}(x) \mathrm{d}x$$
   6. En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), une relation entre \(E(T_{n+1})\) et \(E(T_n)\), puis une expression de \(E(T_n)\) sous forme d’une somme, dont on donnera enfin un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Commentaires rapides sur cet exercice : 

L’intérêt de la formulation retenue ici (qu’on trouve dès le sujet Ecricome E 2001, et qui est reprise dans de nombreux autres sujets par la suite, comme HEC-ESSE E 2021, et il est loin d’être le seul) est de proposer une mise en contexte simple à comprendre; dans les deux cas étudiés, ne pas hésiter dans ce cas à faire les petits schémas associés (visibles ci-dessous), qui vous rappelleront peut-être quelques lointains souvenirs de collège ;-). 

Le plus important ici est de peaufiner les bons réflexes de rédaction : la loi du minimum et du maximum de variables à densités indépendantes et de même loi, est un classique absolument incontournable des sujets de concours. Le cas de la loi exponentiel se retrouve aussi dans les sujets EMLyon E 2015 et HEC E 2015, et bien d’autres encore. 

Sachant que les sujets parisiens contiennent tôt ou tard des questions très difficiles, être capable enchaîner plusieurs questions connues comme celles-ci procure un avantage absolument considérable !

Corrigé détaillé de l’exercice 1

Exercice 2 : grand classique encore, une autre expression intégrale de l’espérance

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\), admettant une espérance \(E(X)\). On note respectivement \(F\) et \(f\), la fonction de répartition et une densité de \(X\).
Soit \((X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi que \(X\).

1. 1. Soit \(x \geq 0\). Justifier la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_x^{+\infty} tf(t) \mathrm{d}t\).
   2. Etablir les inégalités : \(\quad \displaystyle \int_x^{+\infty} tf(t) \mathrm{d}t \geq x\big(1-F(x)\big) \geq 0\).
   3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que : \(\quad \displaystyle E(X) = \int_0^{+\infty} \big(1-F(t)\big) \mathrm{d}t\).
2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(Z_n = \max(X_1,X_2,\ldots,X_n)\), \(G_n\) la fonction de répartition
   de \(Z_n\) et \(g_n\) une densité de \(Z_n\).
   1. Exprimer pour tout \(t \in \mathbb{R},\ G_n(t)\) en fonction de \(F(t)\).
   2. Etablir l’existence de \(E(Z_n)\).
   3. Pour \(n \geq 2\), montrer que : \(\quad E(Z_n)-E(Z_{n-1}) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \big(F(t)\big)^{n-1}\big(1-F(t)\big) \mathrm{d}t\).
   4. Retrouver le résultat de l’exercice précédent lorsque \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda >0\).

Commentaires rapides sur l’exercice : 

Il s’agit là encore d’un enchaînement de questions tout à fait fréquent dans les sujets de concours, à l’écrit comme à l’oral (le présent énoncé est en fait issu d’un oral HEC), et sur lequel l’accent doit là encore être mis sur les détails de la rédaction : manipulation des inégalités, arguments précis à fournir à chaque fois au bon moment. 

Corrigé détaillé de l’exercice 2

Exercice 3 : Transferts de lois

Il s’agit pour le coup d’un très grand classique des épreuves parisiennes : obtenir une méthode de simulation d’une loi non classique (qui est dans ce cas souvent au coeur du problème concerné!), à partir d’une simulation de la loi uniforme sur \([0;1]\), ou éventuellement d’une autre loi usuelle (que Scilab – ou Python – sait simuler.
Du plus général/théorique aux cas d’applications concrets, vous aurez avec cet énoncé et le suivant, toutes les clés pour maîtriser ce raisonnement fondamental.

1. 1. Un premier résultat fondamental (ESSEC Maths I 2014)  : dans tout cet exercice, \(I = ]a,b[\) est un intervalle ouvert non vide de \(\mathbb{R}\), où \(a\) et \(b\) sont réels ou infinis.Soit \(f\) une densité de probabilité continue et strictement positive sur \(I\), nulle en-dehors de \(I\). Soit \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\). On note \(F_X\) sa fonction de répartition.
      1. On note \(H\) la restriction de \(F_X\) à \(I\). Montrer que \(H\) réalise une bijection de \(I\) sur \(]0;1[\); dresser le tableau de variations de la bijection réciproque \(H^{-1}\).
      2. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme à densité sur \(]0;1[\). On pose \(Z = H^{-1}(U)\), et on note \(G\) la fonction de répartition de \(Z\).
         Montrer que pour tout \(x\) de \(I,\ G(x) = F_X(x)\). En déduire que \(Z\) suit la même loi
         que \(X\).
   2. Exemple 1 : LE grand classique. On suppose dans cette question que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\).
      1. Expliciter l’intervalle \(I\) et les fonctions \(f,F_X\) et \(H^{-1}\).
      2. Ecrire une fonction \(\texttt{Scilab}\) appelée \(\texttt{expo(lambda)}\), qui simule la loi exponentielle.
   3. Exemple 2 (HEC 2010). Soit \(a\) un réel strictement positif, on définit la fonction \(F\) par :
      $$\forall x \in \mathbb{R},\quad F(x) = e^{-e^{-(x+a)}}.$$
      1. Montrer que \(F\) est la fonction de répartition d’une variable à densité \(X\).
      2. Montrer que le résultat de 1. s’applique; en déduire une fonction \(\verb|Gumbel(a)|\) qui simule la variable aléatoire \(X\).
   4. Exemple 3 (HEC 2012). Soient \(\lambda\) et \(\alpha\) deux paramètres réels strictement positifs et \(f_{(\lambda,\alpha)}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\quad f_{(\lambda,\alpha)}(x) = \begin{cases} \lambda \alpha x^{\alpha-1}\exp(-\lambda x^\alpha) & \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ si } x \leq 0 \end{cases} \).
      1. Montrer que \(f_{(\lambda,\alpha)}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\). Soit \(W\) une v.a.r. définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},P)\), admettant \(f_{(\lambda,\alpha)}\) pour densité.
         On dit que \(W\) suit la loi de Weibull \(\mathcal{WB}(\lambda,\alpha)\).
      2. Calculer la fonction de répartition \(F_{(\lambda,\alpha)}\) de \(W\), puis montrer que \(F_{(\lambda,\alpha)}(W)\) suit la loi uniforme sur \([0;1]\).
      3. Ecrire une fonction \(\verb|Weibull(lambda,alpha)|\) permettant de simuler \(W\).

Commentaires rapides sur l’exercice : 

J’ai voulu écrire ici une petite synthèse de ce raisonnement qu’on trouve pour le coup, presque chaque année dans au moins un sujet de concours (la liste serait bien trop longue pour les citer tous ici!); il faut dire que ce principe du transfert de loi, débouche presque toujours sur la simulation informatique d’une loi non classique à partir de la loi uniforme sur \(]0;1[\), ce qui permet aux concepteurs de pouvoir inclure ces questions dans leurs sujets. 
En général d’ailleurs, l’intégralité du raisonnement mené à la question 1. est re-demandé, la plupart du temps dans le cas particulier de la loi qui intéresse le sujet. 

Comme on peut s’y attendre pour des questions de ce niveau, c’est technique et très exigeant en termes de rédaction (notamment pour tout ce qui concerne le théorème de la bijection), mais cela fait vraiment partie des enchaînements de questions que la répétition permet de fixer, pour un bénéfice maximal le jour du concours !

Corrigé détaillé de l’exercice 3

Exercice 4 : Autre transfert classique avec la loi de Laplace (Essec 2017)

Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(\beta>0\). On dit qu’une variable aléatoire réelle à densité suit une loi de Laplace de paramètres \((\alpha,\beta)\), notée \(\mathcal{L}(\alpha,\beta)\), si elle admet comme densité la fonction \(f\) donnée par :
$$ \forall t \in \mathbb{R},\quad f(t) = \frac{1}{2\beta}\exp\Big(-\frac{|t-\alpha|}{\beta}\Big)$$

1. 1. Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité d’une variable aléatoire réelle.
   2. Déterminer la fonction de répartition, notée \(\Psi\), de la loi \(\mathcal{L}(0,1)\).
   3. On suppose que \(X\) suit la loi \(\mathcal{L}(0,1)\).
      1. Montrer que \(\beta X + \alpha\) suit la loi \(\mathcal{L}(\alpha,\beta)\).
      2. En déduire la fonction de répartition de la loi \(\mathcal{L}(\alpha,\beta)\).
   4. Espérance et variance.
      1. On suppose que \(X\) suit la loi \(\mathcal{L}(0,1)\).
         Montrer que \(E(X)\) et \(V(X)\) existent et valent respectivement 0 et 2.
      2. En déduire l’existence et les valeurs de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire réelle qui suit la loi \(\mathcal{L}(\alpha,\beta)\).
   5. Simulation à partir d’une loi exponentielle.
      Soit \(U\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 et \(V\) une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\), indépendante de \(U\).
      1. En utilisant le système complet naturellement associé à \(V\), montrer que \(X = (2V-1)U\) suit la loi \(\mathcal{L}(0,1)\).
      2. Compléter la définition \(\texttt{Scilab}\) ci-dessous pour que la fonction ainsi définie réalise la simulation d’une variable aléatoire qui suit la loi \(\mathcal{L}(\alpha,\beta)\) :
         \(\texttt{function r = Laplace(alpha,beta)} \\
         \texttt{ if … <= 1/2 then} \\
         \texttt{V = 1} \\
         \texttt{else} \\
         \texttt{V = 0 }\\
         \texttt{end} \\
         \texttt{X = (2*V-1) * grand(1, 1, ‘exp’, 1) }\\
         \texttt{r = …} \\
         \texttt{endfunction}
         \)
   6. Une autre méthode de simulation, issue du sujet HEC E 2007.
      1. Montrer que \(\Psi\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0;1[\).
      2. Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{L}(0,1)\). Montrer que \(Y = \Psi(X)\) suit la loi uniforme sur \(]0;1[\).
      3. Montrer que l’application réciproque \(\Psi^{-1}\) de \(\Psi\) est définie par :
         $$ \Psi^{-1}(x) = \begin{cases} \ln(2x) & \text{ si } 0 < x \leq 1/2 \\[2mm] -\ln\big(2(1-x)\big) & \text{ si } 1/2 \leq x < 1 \end{cases}$$
      4. Déduire de tout ce qui précède une fonction \(\texttt{Laplace2}\) qui permet de simuler la loi \(\mathcal{L}(0,1)\).

Commentaires rapides sur l’exercice : 

Dans la suite de l’exercice précédent et après une belle mise en jambes de trois énoncés, celui-ci correspond pour le coup à toute une partie d’un sujet parisien (ESSEC E 2017) sur une loi qui tombe là encore très souvent aux concours (et qui intervient donc aussi dans le sujet HEC E 2007, convoqué pour la dernière question).
L’intérêt est de revenir une fois de plus sur cette histoire de transfert de loi, en commençant par des questions classiques qui font intervenir les propriétés de la transformation affine d’une variable à densité. Si on y ajoute le calcul d’une bijection réciproque et des manipulations fines des calculs de probabilités, vous avez tout ce qu’il faut pour bien vous fixer les idées sur le sujet, et passer qui sait un agréable moment avec de belles mathématiques 🙂 !

Corrigé détaillé de l’exercice 4

A la suite de ces quatre exercices, on peut très bien, par exemple, s’attaquer au problème du sujet HEC E 2017, très abordable (du moins au début) si on a passé le temps nécessaire pour bien intégrer tous les concepts abordés dans cet article.

Vous trouverez d’ailleurs tout le contenu nécessaire pour travailler :

• sur d’autres thèmes du programme avec d’autres articles du même type qui seront régulièrement publiés sur Major-Prépa
  
• à partir de sujets d’annales complets avec leurs corrigés détaillés, mis à votre disposition dans la rubrique dédiée.